拉普拉斯方程的格林函数法-4(定稿)

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数学物理方法第四章拉普拉斯(Laplace)方程 拉普拉斯( ) 的 格林( 格林(Green)函数法 )

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u = 2u = u=( r r v r r v i + j+ k) ( i + j+ k) u x y z x y z

2 2 2 )u =( + + 2 2 2 x y z

u = 2u = u = 0

拉普拉斯方程

r r r =i + j +k Hamilton operator y x z

( vector differenti al operator 矢量微分算子) 矢量微分算子)

2 2 2 = = = + + ( Laplace operator x2 y2 z22

拉普拉斯算子) 拉普拉斯算子)

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拉普拉斯( 第四章 拉普拉斯(Laplace)方程的格林(Green)函数法 )方程的格林( )第一章，作为本课程的基础，从试探、训练的角度出发， 第一章，作为本课程的基础，从试探、训练的角度出发，对一些典型方程和定解 条件的导出，进行了演绎。 条件的导出，进行了演绎。

第二、三两章，我们较为系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法： 第二、三两章，我们较为系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法： 分离变量法 行波法 积分变换法

本章，我们将介绍拉普拉斯的格林函数法。 本章，我们将介绍拉普拉斯的格林函数法。 先讨论涉及此类方程解的一些重要性质 再建立格林函数的概念 然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式

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§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第一章中，我们已经从无源静电场的电位分布和稳恒场的温度分布等两个方面的问题， 在第一章中，我们已经从无源静电场的电位分布和稳恒场的温度分布等两个方面的问题， 同时导出了三维拉普拉斯方程

2u 2u 2u u≡ + + =0 x2 y2 z22

作为描述稳定的或平衡的物理现象之拉普拉斯方程，谈它的初始条件是没有意义的！ 作为描述稳定的或平衡的物理现象之拉普拉斯方程，谈它的初始条件是没有意义的！至于边界 条件，如前所述有三种类型，但应用较为广泛的是以下两种边值情况。 条件，如前所述有三种类型，但应用较为广泛的是以下两种边值情况。 (1) 第一边值问题 ) 在空间 ( x , y , z ) 中某一区域 的边界 Γ 上，给定了连续函数 f ,要求这样一个函数

u ( x , y , z ) ,它在闭区域 + Γ (或记作 )上连续，在 内有连续偏导数，且满足拉普 上连续， 内有连续偏导数， 它在闭区域拉斯方程， 相重合， 拉斯方程，在 Γ 上与已知函数 f 相重合，即

u

Γ

= f

第一边值问题也称为迪利克莱( 第一边值问题也称为迪利克莱(Dirichlet)) 迪利克莱 ) 问题，或简称为迪氏问题。 问题， 或简称为迪氏问题。 迪氏问题

中所讨论过

的问题， §2.3中所讨论过的问题，就是圆域内的狄氏问题。 中所讨论过的问题 就是圆域内的狄氏问题。

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调和函数——谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的 谈到拉普拉斯的连续解，也就是说， 调和函数 谈到拉普拉斯的连续解 连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法： 连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域 内 寻找一个调和函数， 上的值为已知！ 寻找一个调和函数，使它在边界 Γ 上的值为已知！ (2) 第二边值问题 ) 在某光滑的闭曲面的边界 Γ 上给出连续函数 f ,要求寻找这样一个函数 u ( x , y , z ) ,它在 在该点的值： 并且等于已知函数 f 在该点的值： 中是调和函数， 上连续， 存在， Γ 内部的区域 中是调和函数，在 + Γ 上连续，在 Γ 上任意一点处的法向导数 n 存在， u

u n

Γ

= f

第二边值问题，也称为牛曼( 第二边值问题，也称为牛曼(Neumann)问题 牛曼 )

的外法向矢量。 这里 n 是 Γ 的外法向矢量。

以上两个边值问题， 给定某些边界条件， 以上两个边值问题，都是在边界上 Γ 给定某些边界条件，而在区域内部求拉普拉斯方程的 这样的问题称为内问题 内问题。 解，这样的问题称为内问题。

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在应用中，我们还会遇到迪氏问题和牛曼问题的另一种提法。例如，当确定物体的外部为稳 在应用中， 我们还会遇到迪氏问题和牛曼问题的另一种提法。 例如， 恒温度场时，这种情况就被归结为： 的外部， 恒温度场时，这种情况就被归结为：通过在区域 的外部，求调和函数 u ,使之满足边界条件

u

Γ

= f ,这里的 Γ 是 的边界， f 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题，被称为 的边界， 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题，

拉普拉斯的外问题。 拉普拉斯的外问题。 外问题 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的， 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，所以定解问题的解是否应该加以一定的 限制呢？正好，电磁学中通常总是假定：无穷远处的电位为零！因此， 限制呢？正好，电磁学中通常总是假定：无穷远处的电位为零！因此，在外问题中常常需要附加 以下条件

lim u ( x , y , z ) = 0r →∞

(r =

x2 + y2 + z2 )

(4.3)

(3) 迪氏外问题 ) 在空间 ( x , y , z ) 中某一区域 的边界 Γ 上，给定了连续函数 f ,要求这样一个函数

u ( x , y , z ) ,它在 Γ 的外部区域 ′ 内调和，在 ′ + Γ 上连续，当点 ( x , y , z ) 趋于无穷远时 内调和， 上连续， 它在 u ( x , y , z ) 满足(4.3)

,并且它在边界 Γ 上，取所给出的函数值 满足( ), ),并且它在边界

u n

Γ

= f

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(4) 牛曼外问题 ) 在光滑的闭曲面的边界 Γ 上给出连续函数 f ,要求寻找这样一个函数 u ( x , y , z ) ,它在 内是调和函数， 上连续， 无穷远处满足条件( ), ),而且它在 Γ 外部的区域 ′ 内是调和函数，在 ′ + Γ 上连续，在 无穷远处满足条件(4.3),而且它在

Γ 上任意一点处的法向导数 n 存在，并满足 存在，

u

u n′这里 n′ 是边界曲面 Γ 的内法向矢量。 的内法向矢量。

Γ

= f

(1) 第一边值问题 ) (2) 第二边值问题 ) (3) 迪氏外问题 ) (4) 牛曼外问题 )

下面，我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。 下面，我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。

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