数学物理方程第二版习题解答 第四章(3)

uηη在η=0上的值，即u在

exat1x+atx1x+at atx at

解为 u(x,t）x== = edeeee[][] ∫ xat2a2a2aex =shat>0

a

但在边界t=0，u为零。因而不成立极值原理。

4. 若曲线s将区域 分成 1与 2两部分，函数u(x,y)在 1, 2内分别二次连续可微，且满足拉普拉斯方程 u=0，又u在s上一阶导数连续，试证明函数u(x,y)在s上也具有二阶连续导数，且满足方程 u=0。

证：由题设在 1, 2内分别二次连续可微，知u在s上沿s的切线方向有二阶连续偏导数以及不与s切线方向相同的任一方向有二阶“单侧”偏导数存在。因而要证在s上有二次连续偏导数，只需证在不与s切线方向相同的两个相反方向上，u的两个二阶“单侧”偏导数相等即可。

为此，设曲线s的方程，ψ(x,y)=0适当光滑，在s上任取一点，在此点邻近作可逆变换

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η=0上任一点处处有二阶连续偏导数uηη。

回到原来的变量x，y知u在s上具有二阶连续偏导数。又因每个“单侧”偏导数都满足 u=0，故u在s上的二阶偏导数也满足 u=0。