数学物理方程第二版习题解答 第四章

复旦第二版

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

§1 二阶方程的分类

1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后

（4）sgnyuxx+2uxy+sgnxuyy

1x>0

=0(sgnx= 0x=0)

1x<0

(5) uxx 4uxy+2uxz+4uyy+uzz=0 解：(1)x2uxx y2uyy=0

=a2

12 a11a22的符号不变。

证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为

a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f

经可逆变换 x=x(x,y)D(x,η)

η=η(x,y) D(x,y)≠0

化为 11uxx+212uxη+22uηη+2uη+=f

=ax2+2axx+其中

1111x12xya22xy

2

12=a11xxηx+a12(xxηy+xyηx)+a22xyη y

22

=a11ηx2+2a12ηxηy+a22ηy2

所以 =2

12 1122=a2

12(xx

2

ηy2+xy2ηx2) 2a11xxxyηxηy+2a11a22xxxyηxηy2)=(a212

D(2

a11a22(ηx2xy2+xx2ηy aηx,η)

11a22)(xxy xyηx)2= D(x,y)

因 D(x,η)

2

D(x,y)

>0，故与 同号，即类型不变。 2． 判定下述方程的类型

（1）x2uxx y2uyy=0 （2）uxx+(x+y)2uyy=0 （3）uxx+xyuyy=0

因 =x2y2>0 当x≠0,y≠0时 >0,

x=0或y=0时 =0。

即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。

（2）u2

xx+(x+y)uyy=0

因 = (x+y)2≤0，在直线x+y=0上， =0为抛物型，其余处 <0，为椭圆型。 （3）uxx+xyuyy=0

因 = xy在坐标轴上， =0为抛物型；在一，三象限中， <0，为椭圆型；在二，四象限中，

>0，为双曲型。

（4）sgnyuxx+2uxy+sgnxuyy=0

因 =1 sgnxsgny,在坐标轴上 >0，为双曲型；在一，三象限内 =0，为抛物型；在二，四

象限内 >0，为双曲型。

（5）uxx 4uxy+2uxz+4uyy+uzz=0 因对应二次型为

x2

2

1 4x1x2+2x1x3+4x2+x2

3 相应对称矩阵为

1 21 240

101

其特征方程为

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λ

21 2

4 λ0= (λ3 6λ2+4λ+4)=0

1

1 λ

记 f(λ)= (λ3 6λ2+4λ+4) 经计算得：

f( 1)=7,f(0)= 4,f(1)= 3,f(2)=4,f(5)=1f(6)= 28

说明A的三个特征值分别在区间( 1,0),(1,2),(5,6)中，故方程为双曲型的。3． 化下列方程为标准形式

（1）uxx+4uxy+5uyy+ux+2uy=0 （2）x2

u2

xx+2xyuxy+yuyy=0 （3）uxx+yuyy=0

（4）u2

xx 2cosxuxy (3+sinx)uyy yuy=0 （5）(1+x2

)u2

xx+(1+y)uyy+xux+yuy=0 解：（1）uxx+4uxy+5uyy+ux+2uy=0 因 =4 5= 1<0，方程为椭圆型。

特征方程为

2

dy dx

4dydx+5=0

解之得

dy

dx

=2±i,y=(2+i)x+c1,y 2x ix=c2 因此引变换

x=2x y

η=x

有

u x= u

x2+

u η

2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2 x2=2( x2+u2 x η)+ x η2+ η2=4 x

2+4

x η+ η2 u y= u x( 1) 2u 2u 2 y2=( 1)u x2( 1)=

x2

2u 2u 2 x y=2u 2u 2u

x2( 1)+ x η( 1)=2 x

2

x η 代入化简即得：

2u 2u u

x2

+ η2+ η

=0 (2)

x2uxx+2xyuyy+y2uyy=0

因 =x2y2 x2y2=0,方程为抛物型. 特征方程为 x2(dydx)2 2xydy

dx+y2=0 解之得

dydx=yx

,y=cx

xy因此引变换

=

x η=x

有 u

uy x

=

x( u

x2)+

η

2u

2uy2

2uy u2y 2uy x2= x2(x x η( 2u

4)+x2)+ xx3+ x η( x2)+ η

2 u u1

y=

xx

2u 2 y2=u1

x2x

2 2

u2

2

x y= uy u11 u

x2( x3)+ x ηx x2

x

代入化简即得

x2uηη=0uηη=0

(x≠0)

(3) uxx+uyy=0

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>0y<0 因 = y

=0

y=0

<0y>0

当y<0为双曲型.特征方程为(

dydx

)2

+y=0 解之得 dy

dx=± y, 2 y=x+c

因此引变换

x=x+2 y

η=x 2 y

有

u x= u u

x+

η

2u 2u 2u

2u 2u x2= x

2

+2 x η+ x η+ η2 u11

y= u x( ( y) 2

)+ u η( y)2 2u 2u 2 y2= x2( y) 1+2u x η( ( y) 1)+ 2u η2

( y) 1

u1 3

u1 3

+ x( 2( y)2

)+ η2

( y)2 代入化简得

u1

xη+

2(x η)

(ux uη)=0

当y=0为抛物线型,已是标准形式. 当y>0为椭圆形.特征方程为(

dydx

)2

+y=0, 解之得 dy

dx

=±yi,±2y=xi+c,xi±2y=c1

因此引变换

x=x

η=2y

有

u u

x=

x

2u 2u x2

=

x2

u1

y= u 2

η

y 2u

= 2u

3

y2 η

2y 1

+ u η( 1 22y) 代入化简得

u1xx+uηη

η

uη=0

(4) uxx 2cosxuxy (3+sin2x)uyy yuy=0 因 =cos2x+(3+sin2x)=4>0为双曲型.特征方程为

(

dydx)2+2cosxdy

dx (3+sin2x)=0 解之得

dy

dx

= cosx±2

y= sinx+2x+c1 y= sinx 2x+c

y+sinx 2x=c1

2

y+sinx+2x=c 2因此引变换 x=2x+sinx+y

y

η=2x sinx有 u x= u x(2+cosx)+ u

η

(2 cosx)

2u2

2u

2

x2=(2+cosx) x2+2(4 cosx) 2u2 2

u u u x η+(2 cosx) η

2 sinx x+sinx η u y= u x

u

η

2u

= 2u

y2 x2 2u x η+ 2u

2 η

2 2u x y=(2+cosx) 2u 2u 2u x2+( 2cosx) x η (2 cosx) η

2 代入化简得

2u x η x η32( u x u

η

=0 (5) (1+x)2uxx+(1+y2)uyy+xux+yuy=0 因 = (1+x2)(1+y2)<0为椭圆形。特征方程为

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dy21+y2(+=0

2dx1+x

dy1+y2

即 =±i2dx1+x

解之得 ln(y++y2)=±iln(x++x2)+c1 因此引变换

因 eλx+uη不等于零,且取λ=

vxx±vηη

ab

,u= ,消去eλx+uη得 22a2b2a2b2+(+ +d)v+f1e (λx+uη)=0

4422

a2b2

记 d =c, f1e (λx+uη)=f即得所求.

44

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