第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法(3)

(

)

当λ< 0,μ=

λ

Φ ( )= A cos m + B sin m (m= 0,1,2, L) m m Z ( z )= C cosμz+ D sinμz d 2R dR x 2+x x2+ m2 R= 0 dx 2 dx

(

)

25

2u(x,y,z,t)22

2.2.2 波动方程 =a u(x,y,z,t) 2

t

令u(x,y,z,t)=T(t)U(x,y,z)，带入上述方程

T′′U=a2T 2U

T′′ 2U

== k2， k为常数 2

aTU

从而得到

22 T′′+akT=0 22 U+kU=0

T(t)=Acosakt+Bsinakt亥姆赫兹(Helmholtz)方程

（28）

2.2.3 热传导方程

u(x,y,z,t)=a2 2u(x,y,z,t)

t

令u(x,y,z,t)=T(t)U(x,y,z)，带入上述方程

T′U=a2T 2U

T′ 2U2

== k， k为常数 2

UaT

从而得到

22 T′+akT=0

2

2

UkU=0 +

T(t)=Ae ak

22

t

亥姆赫兹(Helmholtz)方程

（29）

波动方程和热传导方程通过分离变量后，均需要求解Helmholtz方程。 下面，我们将详细讨论Helmholtz方程的解法。

2.2.4 亥姆霍兹（Helmholtz）方程 u+ku=0

一、球坐标系下Helmholtz方程的分离变量解法 球坐标系下Helmholtz方程：

22

令 u(r,θ, )=R(r)Y(θ, )，代入（30）式中，得