第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法(2)

33）

34）

（ （ （ （ （

ω a2ω=0

xx

tt

（35） ωx=0=0,ωx=l=0,

ωt=0=0,ωtt=0= Aωsinωx,

asin a

定解问题（35）泛定方程和边界条件都是齐次的，可以直接用分离变量法进行求解。

需要指出：

（1） 不是所有的定解问题都可以将泛定方程和边界条件同时齐次化。这时，只能用第一

种方法，构造一个函数v(x,t)，然后求解泛定方程为非齐次的定解问题。

（2） 对于可以将方程和边界条件同时齐次化的定解问题，是采用第一种方法简单地将边

界条件齐次化，还是力求方程同时也齐次化？需要视具体情况而定。有时尽管也能

使方程和边界条件同时齐次化，但如果函数v(x,t)所满足的常微分方程过于复杂，不易求得，也许还是找一个形式比较简单的函数，只需将边界条件齐次化来得方便。

思考：

1、对于更一般非齐次方程、非齐次边界条件构成的定解问题，该如何求解？

u a2u=f(x,t)ttxx

ux=0=α(t),ux=l=β(t), ut=0= (x),utt=0=ψ(x),

2、分离变量法的适用范围？

（1）有界区域的定解问题 （2）系数不存在耦合项

习题：求半带形区域(0≤x≤a,y≥0)内静电势，已知边界x=a和y=0上的电势都是零，而边界x=a上的电势保持为u0（常量） 对应的定解问题为

2u=uxx+uyy=0

ux=0=0ux=a=u0 uy=0=0

§2.2 利用分离变量法求解常见偏微分方程

第一章我们推导了如下三个常见的偏微分方程

波动方程

热传导方程 2 Laplace方程 u=0

2

泊松方程 u= ρ(x,y,z)

下面，我们将分别在球坐标系和柱坐标系下利用分离变量法对上述偏微分方程进行求解。

2.2.1 拉普拉斯（Laplace）方程

2u=0

一、球坐标系(r,θ, )下拉普拉斯方程的分离变量解法

2u 2u 2u直角坐标系下拉普拉斯方程：2++2=0 2

x y z

球坐标系下拉普拉斯方程：

方程（1）为偏微分方程，u具有多个自变量，无法直接进行求解，我们利用分离变量法

将球坐标系下拉普拉斯偏微分方程分解成为多个常微分方程，然后进行求解。 设u(r,θ, )=R(r)Y(θ, )，代入（1）式

Y 2YYd 2dR RR

=0 sinθ + r +

θ r2sin2θ 2r2dr dr r2sinθ θ r2

方程两边同乘以YR1d 2

rRdr 1d 2 rRdr

dR 11 2Y Y

=0 + sinθ +22

dr Ysinθ θ θ Ysinθ

2

dR 11 Y Y

=l(l+1)l为常数 sinθ =

dr Ysinθ θ θ Ysin2θ 2

（为什么常数写成l(l+1)的形式，我们将在求解勒让德方程时解释） 由此，偏微分方程（1）可得到分离为如下两个方程：

d 2dR

dr rdr l(l+1)R=0

Y 1 2Y 1 +l(l+1)Y=0 + sinθ22 θθθ sin sinθ

(2)

(3)

其中，（2）为欧拉方程，（3）球谐函数方程。

方程（2）为常微分方程，可以直接求解，但方程（3）仍然是偏微分方程，需要进一步分离变量。

令Y(θ, )=Θ(θ)Φ( )，代入方程（3）中

Φd dΘ Θd2Φ

+l(l+1)ΘΦ=0 sinθ +

sinθdθ dθ sin2θd 2sin2θ方程两边同乘以

ΘΦ

sinθd dΘ 1d2Φ2

()θ=0ll1sin++ + sinθ2

dθ Φd Θdθ

sinθd dΘ 1d2Φ2

=m2, +l(l+1)sinθ= sinθ2

dθ Φd Θdθ

由此偏微分方程（3）又可以分离为如下两个常微分方程：

m为常数

d2Φ2

m+Φ=0 2

d

dΘ sinθd +l(l+1)sin2θ m2Θ=0sinθ dθ dθ

(4)

[]

(5)

其中，方程（4）、（5）均为常微分方程，可以直接求解。

综上，球坐标系下拉普拉斯偏微分方程通过分离变量法，分离成三个常微分方程，即

一旦得到三个常微分方程（6）、（7）、（8）的解R(r)、Θ(θ)、Φ( )，球坐标系下拉普拉斯偏微分方程的解即可得到：u(r,θ, )=R(r)Θ(θ)Φ( ) 下面，我们将分别求解上述三个常微分方程。

1、欧拉方程（6）的求解 将方程

d 2dR

l(l+1)R=0展开 r

dr dr

dRd2R+2r l(l+1)R=0 （9） r2

drdr

2

设r=e,

t

t=lnr

dRdRdt1dR1dR

（10） ===

drdtdrrdtetdtd2Rd dR d 1dR ddt 1dR

= = = =dr dr dr etdt dtdr etdt dr2

1 1d2R1dR 1 1d2R1dR

t t

2 =et etdt2 etdt r dtedte

=1d2R1dR

e2tdt2

e2tdt

(11)

将方程（10）、（11）带入方程（9），得到

d2Rdt

2

+dR

dt l(l+1)R=0 特征值x1=l,x2= (l+1)

R(t)=Celt+De (l+1)t

将t=lnr代入上式，得到

R(r)=Cellnr+De (l+1)lnr=Crl+

D

r

l+1 当l=0时，特征值x1=0,x2= 1

R(r)=C+De t=C+De lnr=C+

D

r

也满足上述通式。 综上

2、方程（7）的求解

d2Φ

d

2

+m2Φ=0 其解 Φ( )=Amcosm +Bmsinm

Φ( )应满足自然边界条件Φ( )=Φ( +2π)

所以，m必须为整数，即m=0,1,2,L 综上

Φ( )=Amcosm +Bmsinm

(m=0,1,2,L) （13）

3、方程（8）的求解 令x=cosθ,

y(x)=Θ(θ)

dΘ(θ)dydxdy

== sinθ

dθdxdθdxsinθ

d dΘ ddx dy d 2dy 22

sinθ =sinθ sinθ =sinθ sinθ

dθ dθ dxdθ dx dx dx

d 2dy 1=1 x2 xdx dx

()()

带入方程（8），得到m阶连带勒让德方程

当m=0时，方程（

14）退化为勒让德方程

其中，l为本征值。由函数y(x)在定义域x∈[ 1,1]内有限的自然边界条件可得，本征值

l=0,1,2,3L，其对应的本征函数为l阶勒让德多项式Pl(x)。

l阶连带勒让德方程对应的解为l阶连带勒让德多项式Plm(x)； l阶勒让德方程对应的解为l阶勒让德多项式Pl(x)。

（勒让德多项式的求解以及为什么本征值l必须为l=0,1,2,3L将在§2.2节详细讲解）

二、柱坐标系(ρ,θ,z)下拉普拉斯方程的分离变量解法

柱坐标系与直角坐标系的关系

x=ρcos

y=ρsin z=z

柱坐标系下拉普拉斯方程

利用分离变量法，令u(ρ,θ,z)=R(ρ)Φ( )Z(z)代入（16）式中

ΦZd dR RZd2ΦRΦd2Z

+2+=0 ρ22 ρdρ dρ ρd dz

方程两边同乘以

ρ2

RΦZ

ρd dR 1d2Φρ2d2Z ++=0ρ 22

Rdρ dρ Φd Zdz

ρd dR ρdZ1dΦ2

+= =ρm 2

Φd 2Rdρ dρ Zdz

222

从而得到

方程（17）为独立常微分方程，其解为

Φ( )=Amcosm +Bmsinm (m=0,1,2,L) 满足自然边界条件

方程（18）仍然没有完全分离开，方程两边同乘以

1

ρ

2

1d dR m21d2Z ρ ρ2= Zdz2= λ λ为常数 ρRdρ ρd

进而，得到两个常微分方程

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