第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法

第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法

上述偏微分方程中的物理量包含对空间和时间多个变量的偏导，直接求解比较困难。在求解偏微分方程的所有方法中，分离变量法是一种非常重要的方法，其基本思想是把偏微分方程分解成为几个常微分方程，常微分方程和边界条件构成本征值问题，然后对本征值问题直接求解。

§2.1 分离变量法介绍

2.1.1 齐次偏微分方程的分离变量法

两端固定的均匀弦的自由振动问题，其满足如下定解问题：

u a2u=0

ttxx

ux=0=0,ux=l=0, ut=0= (x),utt=0=ψ(x),

设

（1）

u(x,t)=X(x)T(t) （2）

带入上述泛定方程，得

T''X''

== λ，λ为任意常数 a2TX

整理得

X''+λX=0 （3）

T''+λa2T=0 （4）

X的泛定方程（2）和其边界条件X(0)=0,X(l)=0构成其本征值问题，即

X''+λX=0

（5）

X(0)=0,X(l)=0

1、当λ<0时，方程（3）的通解为

X(x)=c1e

x

+c2e

x

由边界条件得，c1=c2=0，弦不发生振动，没有意义，所以，λ<0的情况排除。 2、当λ=0时，方程（3）的通解为

X(x)=c1x+c2

由边界条件得，c1=c2=0，弦也不发生振动，没有意义，λ<0的情况也可排除。 3、当λ>0时，方程（3）的通解为

X(x)=c1cosx+c2sinx X(0)=c1=0

由边界条件 ，得

X(l)=c2sinλl=0

n2π2

λl=nπ，n为正整数，即λ=2,(n=1,2,3,L)

l

（6） n2π2

将特征值λ=2,(n=1,2,3,L)带入关于T的泛定方程（4）

l

n2π2a2

T''+T=0，其解为

l2 （7） 将（6）（7）式带入（2）式，得

nπanπa nπx

u(x,t)= Ancost+Bnsint sin,(n=1,2,3,L)

ll l

由于n取任意正整数，上述本征解都满足本征方程，因此，满足定解问题最一般的通解写为

（8） An,Bn为待定系数，由初始条件确定。

（9）

（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数

（10） 习题：求利用分离变量法求解如下定解问题

（1）求如下定解问题

u a2u=0ttxx

uxx=0=0,uxx=l=0, ut=0= (x),utt=0=ψ(x),

（2）一细杆，初始时刻杆一端温度为零度，另一段温度为u0，杆上温度均匀分布。现零度一端保持温度不变，另一端与外界绝热，求杆上温度变化。

u a2u=0

xx

t

ux=0=0,uxx=l=0,

u=u0xt=0 l

（3）边长为a,b的矩形薄板，两板面不透热，它的一边y=b为绝热，其余三边保持温度为零，设板的初始温度分布为f(x,y)，求板内温度变化。

ut a2(uxx+uyy)=0 ux=0=0,ux=a=0,

uy=0=0,uyy=b=0, ut=0=f(x,y)

2.1.2 非齐次偏微分方程的处理

齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用，因为方程和边界条件都是齐次的，分离变量才得以实现。如果定解问题中的方程不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？

u a2u=f(x,t),0<x<l,t>0ttxx

ux=0=0,ux=l=0, ut=0= (x),utt=0=ψ(x),

（11）

我们分别利用本征函数法和冲量定理法求解上述定解问题，这里，我们仅考虑边界条件

是齐次的，非齐次边界条件的处理将在下一小节中讲述。 一、本征函数法

由2.1.1中例题（1）可知，当f(x,t)≡0时，定解问题的本征函数族为

nπx sin ,(n=1,2,3L)。

l

因此，设

（12） 将（12）带入（11）中的泛定方程，得

n2π2a2nπx

()()+T''tTtsin=f(x,t) （13） ∑n n 2

lln=1

∞

（13）式是f(x,t)关于x的正弦级数展开，

（14） ∞

nπxnπx

= (x)，∑Tn'

(0)sin=ψ(x) 边界条件 ∑Tn(0)sinlln=1n=1

∞

所以， （15）

由（14）（15），可求得Tn(t)。

然后代入（12）式，可得其解。

二、冲量定理法

应用冲量定理法有一个前提条件，即初始条件均为齐次的。对于初始条件为非齐次的定解问题（如（11）），可以采用叠加原理，令

u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)

其中，u,u分别满足如下定解问题

1

2

（16）

（17）

齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始

条件已经转化为齐次。

下面，利用冲量定理法求解（17）式的定解问题，其基本思路是将受迫振动问题转化为无穷多个自由振动问题的叠加。

把非齐次项f(x,t)表示成无穷多个瞬时力的叠加

f(x,t)=∫f(x,τ)δ(t τ)dτ

t

相应地，位移u(x,t)=

∫v(x,t,τ)dτ （18）

t

其中，v(x,t,τ)dτ表示瞬时力f(x,τ)δ(t τ)dτ所产生的位移。v(x,t,τ)应该满足如下定解问题

（19）

对（19）中泛定方程在区间[τ 0,τ+0]对t积分

∫τ

τ+0

0

vttdt ∫

τ+02

τ 0

avxxdt=∫

τ+0

τ 0

f(x,τ)δ(t τ)dt

vt

τ+0

τ 0

=f(x,τ)

τ 0

因为在时刻τ 0时，弦还未受到瞬时力，仍处于静止状态，所以vt故，vt

τ+0

=0

=f(x,τ)。

在时刻t=τ+0以后，瞬时力消失，泛定方程变为齐次的，因此，如果将τ+0作为初始时刻，将定解问题（19）改写为如下形式（以下，将τ+0简写为τ）

（20）

方程（20）可直接利用分离变量法求得。得到v(x,t)后，带入（18）式，可求得u(x,t) 习题：分别利用本征函数法和冲量定理法求解定解问题

πx 2

uauAcossinωt,0<x<l,t>0 =xx tt

l

uxx=0=0,uxx=l=0,

ut=0=0,utt=0=0,

2.1.3 非齐次边界条件的齐次化

一、一般处理方法 例如自由振动问题

u a2u=0ttxx

ux=0=α(t),ux=l=β(t), ut=0= (x),utt=0=ψ(x),

（21）

边界条件是非齐次的。

为了使用分离变量法，必须先将非齐次边界条件齐次化。令

u(x,t)=v(x,t)+ω(x,t) （22）

适当选择v(x,t)使其满足v

x=0

=α(t),vx=l=β(t)。

x=0

这样，另一个函数ω(x,t)的边界条件将变为齐次，即满足ω定解问题为

=0,ω

x=l

=0，其满足的

ω a2ω= v a2vttxxttxx

ωx=0=0,ωx=l=0, ωt=0= (x) v(x,0),ωtt=0=ψ(x) vt(x,0),

()

（23）

上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发

或者冲量定理法继续求解。

另一个函数v(x,t)，可以用线性函数构造，令

v(x,t)=α(t)+

β(t) α(t)

l

x （24）

将（24）式带入 …… 此处隐藏：2479字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……