考研讲义-高等数学(3)

0,y(0) y'(0) 1的特解。（y

14

14

(3 2x)e

第七讲 无穷级数

一、理论要求 1.收敛性判别

级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法

2.幂级数

交错级数判别法

幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）

3.Fourier级数

Taylor与Maclaulin展开

了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求[ l,l]的Fourier级数与[0,l]正余弦级数

第八讲 线性代数

一、理论要求 1.行列式 2.矩阵

会用按行（列）展开计算行列式

几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

3.向量

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

4.线性方程组

理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

5.二次型

二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理

掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法

了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法

第九讲 概率统计初步

一、理论要求 1.随机事件与概率

2.随机变量与分布

3.二维随机变量

4.数字特征 5.大数定理 6.数理统计概念

7.参数估计

8.假设检验

第十讲 总结

1.极限求解

了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率

掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 理解随机变量与分布的概念

理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度

掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数

理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念

掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度

会求两个随机变量简单函数的分布

理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念

掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理

理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解 2分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布

掌握矩估计与极大似然估计法

了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性

会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 掌握假设检验的基本步骤

了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

变量替换（1 作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换） 1.lim

12an[(x

an

n

) (x

n

) ... (x

(n 1)a

n

) x

a2

(几何级数)

2.lim(

2

arccosx)

1/x

e

/2

x 0

(对数替换)

x

3.lim(2 x)

tan

2

x 1

4.lim3 xx 1

x

(

6 x

)

2

(x a) na

nnn 1(x a)

2.导数与微分 3.一元函数积分4.多元函数微分5.lim

x a

(x a)

2

1 cos2x 2

,x 0

6.f(x)

x 4,x 0，求limf(x)

x 0

x

0costdt

x(x 0)复合函数、隐函数、参数方程求导 1.[(a

b

x

b

)x(x

)a(a

)b]'

2.

yx

arctanx sin(x y) 0，求dy/dx

3. x et

cost 决定函数y y(x)，求dy

y et

sint

4.已知2x2y lny 1，验证4xy2 (2x2y 1)y' 0 5.y e

2u

,u

13

3

lnv,v xsinbx,求y'x

1.求函数I(x)

x

3t 10

t2

t 1

dt在区间[0,1]上的最小值。（0）

2

2

2.

x 1 2

|x 1|

dx

3. （1

2

3/2

1 x)

dx 4.

1x(1 x)

dx

5.

dttt2

1

6.

1 4x 4x

2

dx

1.z f(

x

2y

,e

xy

)，求z'x,z'y

2.z z(x,y)由F(x

zy

,y

zx

) 0给出，求证：xz'x yz'y z xy

3.求u(x,y) x2 y2 2xy在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。

u x y

2

4.u sinxln(x y)，求6.证明z xnf(

yx

2

)满足xz'x 2yz'y nz

7.求f(x,y) 4x 4y x2 y2在D:x2 y2 18内的最值。

5.多元函数积分

1.求证：div(a b) brota arotb 2.I 3.I

D

(4 x y)dxdy,D:x y(x y)dxdy,D:x y

2

x 2

2

2

22

2y

D

2y

4.改变积分次序 dx

1

f(x,y)dy

5.I

6.常微分方程

x2( Dy)dxdy,D:x 2,y 2x,xy 1围域。

1.求 y2lnxdx dy y2dx 0通解。 2.求y'' 2y' 5y 2e3x通解。 3.求y'' 2y' 5y 6e2x通解。 4.求(xy y)dx (xy5.求y'' 4y

12

2

2

x)dy 0通解。

(x cos2x),y'(0) y(0) 0特解。

x

6.求y'' y 4xe,y(0) 0,,y'(0) 1特解。

《高等数学考研题型分析》

填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、

变上限定积分

选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限

计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用