考研讲义-高等数学

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.lim

arctanx xln(1 2x)

3

x 0

lim

arctanx x

2x

3

x 0

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x xf(x)

x

3

x 0

0，求lim

6 f(x)

x

2

x 0

解：x 0

lim

sin6x xf(x)

x

3

lim

6cos6x f(x) xy'

3x

2

x 0

lim

36sin6x 2y' xy''

6x6

x 0

lim

216cos6x 3y'' xy'''

6

x 0

216 3y''(0)

0 y''(0) 72y'2x

y''2

722

lim

6 f(x)

x

2

x 0

lim

x 0

lim

x 0

36 （洛必达）

3.lim(

x 1

2xx 1

2x

)x 1 （重要极限）

4.已知a、b为正常数，求lim(

x 0

3

a b

2

xx

3

)x

解：令t (

a b

2

xx

)x,lnt

3x

[ln(a b) ln2]

xx

limlnt lim

x 0

3a b

x

x

x 03/2

(alna blnb)

xx

32

ln(ab)

（变量替换）

t (ab)

1

5.lim(cosx)

x 0

ln(1 x)

2

1

解：令t (cosx)

ln(1 x)

2

,lnt

1ln(1 x)

12 t e

2

ln(cosx)

limlnt lim

x 0

tanx2x

x 0

1/2

（变量替换）

6.设f'(x)连续，f(0) 0,f'(0) 0，求lim

x

x0

2

f(t)dt

x0

x 0

1

f(t)dt

2

（洛必达与微积分性质）

ln(cosx)x 2,x 0

7.已知f(x) 在x=0连续，求a

a,x 0

解：令a limln(cosx)/x 1/2 （连续性的概念）

x 0

2

三、补充习题（作业） 1.lim

e 1 x x cos

1sinx

t

2

x

x 0

x

1x

3 （洛必达）

2.limctgx(

x 0

) （洛必达或Taylor）

3.lim

x e

x

dt

2

x 0

1 e

x

1 （洛必达与微积分性质）

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法

A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

dy x arctant

1.y y(x)由 决定，求 2t

dx 2y ty e 5

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

2.y y(x)由ln(x y) xy sinx决定，求

23

dydx

|x 0 1

解：两边微分得x=0时y' ycosx y，将x=0代入等式得y=1 3.y y(x)由2

B.曲线切法线问题

xy

x y决定，则dy|x 0 (ln2 1)dx

/2

（e4.求对数螺线 e在（ ， ） , /2)处切线的直角坐标方程。

x ecos /2

解： ,(x,y)| /2 (0,e),y'| /2 1

y esin

y e

/2

x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。

C.导数应用问题

D.幂级数展开问题解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0

lim

f(1 sinx) 3f(1 sinx)

x 0

sinxsinx t

lim[f(1 t) f(1)

(1)

t 0

t

3

f(1 t) ft

]

4f'(1) 8 f'(1) 2 y 2(x 6)

6.已知y f(x)对一切x满足xf''(x) 2x[f'(x)]2 1 e x，

若f'(x0) 0(x0 0)，求(x0,y0)点的性质。

0 1解：令x x0代入，f''(xe

x 0,x0 00)

ex

0x ，故为极小值点。 0

0,x0 0

7.y

x

3

(x 1)

2

，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：定义域x ( ,1) (1, )

y' 0 驻点x 0及x 3

y'' 0 拐点x 0；x 1：铅垂；y x 2：斜

8.求函数y (x 1)e /2 arctanx的单调性与极值、渐进线。

x2

解：y'

x1 x

2e

/2 arctanx

驻点x 0与x 1，渐：y e

(x 2)与y x 29.

d

x

x t)2

dx

dt sinx2

sin(

(2n 1)

sin(x t)2 (x t)2

13!

(x t)6 ( 1)

n

(x t)

2(2n 1)!

x t)2

dt

13

1n 1

(x t)

4n 1

sin(3

(x t) 3!7

(x t)7

( 1)

(4n 1)(2n 1)! 1

xsin(x t)2

13

17

n

3

x 3!7

x ( 1)x

4n(4n 1)(2n 1)!

dx

x t)2

dt x2

1x6

( 1)

n

x

2(2n 1)

2

dx

sin(3!

(2n 1)!

sinx

或：x t u

d

2

dx

)

d

x

2

x

sinu( dudx

sinudu sinx2

10.求f(x) x2

ln(1 x)在x 0处的n阶导数f(n)

(0)

E.不等式的证明

F.中值定理问题

2

n 2

解：x2ln(1 x) x2

(x

x

2

x

3

3

( 1)

n 1

x

n 2

o(x

n 2

)

4

=x3

x

x

5

n 1

n2

3

( 1)

x

n

n 2

o(x) f

(n)

(0) ( 1)

n 1

n!n 2

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