考研讲义-高等数学(2)

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法 A.积分计算

1.

dxx(4 x)

dx4 (x 2)

2

arcsin

x 22

2x

C

2. e2x(tanx 1)2dx

e

2x

sec

2

xdx 2 e

tanxdx e

2x

tanx C

3.设f(lnx)

ln(1 x)

x

，求 f(x)dx

x

解： f(x)dx

ln(1 e)

e

x

x

dx

e

x

ln(1 e)

1x

(1

e

xx

1 e

)dx x (1 e

b

x

)ln(1 e) C

x

4.

B.积分性质

arctanxx

2

1

dx

arctanx|1 lim

b

1

(

1x

x1 x

2

)dx

4

12

ln2

5.f(x)连续， (x) 续性。

1

f(xt)dt,且lim

f(x)x

x

x 0

A，求 (x)并讨论 '(x)在x 0的连

解：f(0) (0) 0,y xt (x)

xf(x)

f(y)dyxA2

'(x) 6.

ddx

x

x

02

f(y)dy

'(0) d2dx

lim '(0) A/2 '(0)

x 02

2

x

tf(x t)dt

22

2

x

f(x t)d(t x)

22

C.积分的应用

d2dx

x

2

f(y)d(y) xf(x)

3a2

x，又f(x)

2

7.设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x) 0，且xf'(x) f(x)

与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。 解：

ddx(f(x)x

)

3a2

2

f(x)

3a2

x cx

2

1

f(x)dx 2 c 4 a

f(x) 8.曲线y 表面积。

3a2

x (4 1)x V' (

1

ydx)' 0 a 5

2

x 1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的

解：切线y x/2绕x轴旋转的表面积为 2 yds

2

5

曲线y

x 1绕x轴旋转的表面积为 2 yds

1

2

6

(55 1)

总表面积为

三、补充习题（作业） 1.

lnsinxsin

2

6

(115 1)

x

dx cotxlnsin2x cotx x C

2. 3.

x 5x 6x 13

2

dx

arcsin

x

x

dx

第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数

理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件

2.多元函数微分

向量计算的几何意义与坐标表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分

3.多元微分应用 4.空间解析几何

二、题型与解法 A.求偏导、全微分

熟练掌握复合函数与隐函数求导法

理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

1.f(x)有二阶连续偏导，z f(exsiny)满足zxx zyy e解：f'' f 0 f(u) c1eu c2e u 2.z

1x

f(xy) y (x y)，求

z x y

2

''''2x

z，求f(x)

3.y y(x),z z(x)由z xf(x y),F(x,y,z) 0决定，求dz/dx

B.空间几何问题

4.求

x

y x0 y/

2

2

z a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。

z0

a d a

解：x/

y0 z/

2

5.曲面x 2y 3z 21在点(1, 2,2)处的法线方程。

C.极值问题

6.设z z(x,y)是由x 6xy 10y 2yz z 18 0确定的函数，求z z(x,y)的极值点与极值。

三、补充习题（作业） 1.z f(xy,

xy

) g(),求

x x y

y

z

2

2

2

2

2.z f(xy,

x

y z

g()),求

yx x

x y, arctan

2

2

3.z u ,u ln

yx

,求dz

第五讲 多元函数的积分

一、理论要求

1.重积分

2.曲线积分 3.曲面积分

二、题型与解法 A.重积分计算

熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球） bdxy2(x)f(x,y)dy

f(x,y)dxdy a

y1(x) 2

r2( )

D

1

d r1( )f(r, )rdr by2(x

)z2(x,y)

adx y1(x)dy z1(x,y)f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dxdydz

z2 2(z)r2(z, ) z1dz 1(z)d r1(z, )f(r, ,z)rdr

V

2( )r2

d 1( )d ( , )

r1( , )f(r, , )r2

sin dr会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）

z f(x,y) A

22

D

z'x z'ydxdy

理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

L:y y(x) b

2af(x,y(x)) y'xdx

L

f(x,y)dl L: x x(t) f(x(t),y(t))x'22

y y(t)

t y'tdt

L:r r( ) f(rcos ,rsin )r2 r'2 d

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系

熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

S:z z(x,y)

f(x,y,z)dS

Dxy

f(x,y,z(x,y)) z'2x z'2

ydxdy

Gauss: SE dS E

dV(通量，散度）

Stokes:F V

dr

( L

S

F) dS(旋度）

x2

y2

)dV, 为平面曲线 y21.I ( 2z

0

绕z轴旋转一周与z=8的围域。

x解：I

8

22

2

2

1024 0

dz

x2 y2

2z

(x y)dxdy

8

dz

d

2z

rrdr

3

2.I

x y

D

2

2

22

2

dxdy,D为y a 22

a x(a 0)与y x围域。

4a x y

（I a(

2

2

16

12

)

x2y,1 x 2,0 y x

3.f(x,y) ，

0,其他

求 f(x,y)dxdy,D:x y 2x (49/20)

D

22

B.曲线、曲面积分 4.I

(e

L

x

siny b(x y))dx (ecosy ax)dy

2

x

L从A(2a,0)沿y 2ax x至O(0,0)

解：令L1从O沿y 0至A

2a

I

L L1

L1

D

(b a)dxdy

( bx)dx (

2

2)ab

2

2

a

3

5.I

xdy ydx4x y

2