数学建模论文-中国GDP增长的数学模型及其分析与预测(2)

2

若r ra,则x与y有显著的线性关系；若r ra,则x与y的线性相关关系不显著

4、回归系数显著性检验

回归系数的显著性检验可用t检验法进行，令

tb1

b1

（1-7） Sb1

tb1 t(n 2),

其中

Sb1

取显著性水平 (Pt ta) ),若tb1 ta，则回归系数b1显著，此检验对常数项亦适用。

5、F检验

统计量

F

) (y

i

i 1i

n

2

) (y y

i

i 1

n

（1-8）

2

n 2)

服从F(1,n 2)分布，取显著性水平 .若F F，则表明回归模型显著；（ 1，n-2）如果F F (1,n 2)，则表明回归模型不显著，改回归模型不能用于预测。 6、DW统计量

DW统计量是用来检验回归模型的剩余项 i之间是否存在自相关的一种十分有效的

方法。

DW

(

i 2

n

2

)ii 1

i 1

n

（1-9）

2i

i 式中 i yi y

将利用式（1-9）计算而得到的DW值与不同显著性水平 下的DW值之上限d 和下限进行比较，来确定是否存在自相关。DW值应在0 4之间。

当DW值小于或等于2时，DW检验法则规定： 如果DW dl，则认为 i存在正自相关；

如果DW d ，则认为 i无自相关；

如果dl DW d ，则不能确定 i是否有自相关。

当DW值大于2时，DW检验法则规定： 如果4 DW dl，则认为 i存在负自相关； 如果4 DW d ，则认为 i无自相关；

如果dl 4 DW d ，则不能确定 i是否有自相关

根据经验，DW统计量的值在1.5 2.5之间时表示没有显著自相关问题。 以上检验可利用统计软件包进行回归时同时完成

Step4、进行预测

预测可分为点预测和区间预测两类，在一元线性回归中，所谓点预测，就是当给定

x x0时，利用样本回归方程求出相应的样本拟合值y0 b0 b1x0，以此作为因变量个别

值y0和其均值E(y0)的估计。

区间预测是给出一个在一定概率保证程度下的预测置信区间。

进行区间预测，首先要进行点预测，确定x0的值，求得y0的预测值y0。 y0的置信度为100(1 )%的预测区间的端点为：

y0 t Sc0 (1-10)

其中，S为标准偏差，t0可由t分布表查得，其自由度为n 2,满足P(t t ) ，而

1

c0

n

x x x x

2

0n

i

i 1

2

ARIMA模型建模步骤

数据平稳化处理[2]

首先要对时间序列数据进行平稳性检验。可以通过时间序列的散点图或折线图对序列进行初步的平稳性判断。一般采用ADF单位根检验来精确判断该序列的平稳性。对非平稳的时间序列，我们可以先对数据进行取对数或进行差分处理，然后判断经处理后序列的平稳性。重复以上过程，直至成为平稳序列。此时差分的次数即为 ARIMA p,d,q 模型中的阶数

d。从理论上而言，足够多次的差分运算可以充分地提取序列中的非平稳确定性信息。但应

当注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好。因为差分运算是一种对信息的提取、加工过程，每次差分都会有信息的损失，所以在实际应用中差分运算的阶数要适当，应当避免过度差分，简称过差分的现象。一般差分次数不超过2次。

数据平稳化处理后，ARIMA p,d,q 模型即转化为ARMA p,q 模型。

模型识别

我们引入自相关系数和偏自相关系数这两个统计量来识别ARMA p,q 模型的系数特点和模型的阶数。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。自相关函数成周期规律的序列，可选用季节性乘积模型。自相关函数规律复杂的序列，可能需要作非线性模型拟合。

在平稳时间序列自相关函数和偏自相关函数上初步识别ARMA模型阶数p和q，然后利用AIC定则准确定阶。AIC准则：最小信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适用于样本数据较少的问题。目的是判断预测目标的发展过程与哪一随机过程最为接近。因为只有当样本量足够大时，样本的自相关函数才非常接近母体的自相关函数。具体运用时，在规定范围内使模型阶数从低到高，分别计算AIC值，最后确定使其值最小的阶数是模型的合适阶数。关于ARMA p,q 模型，AIC函数定义如下：

[3]

AIC nlog 2 2 p q

式中：n平稳序列为样本数， 为拟合残差平方和，p，q为参数。 AIC准则定阶方法可写为：

2

AIC p,q minAIC k,l

k,l

0 k M,0 l H

其中：M，N为ARMA模型阶数的上限值，一般取为根号n或n/10。实际应用中p，

q一般不超过2。 参数估计

确定模型阶数后，应对ARMA模型进行参数估计。本文采用最小二乘法OLS进行参数估计，需要注意的是，MA模型的参数估计相对困难，应尽量避免使用高阶的移动平均模型或包含高阶移动平均项的ARMA模型。

模型检验[4]

完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的模型是否合适。若不合适，应该知道下一步作何种修改。这一阶段主要检验拟合的模型是否合理。一是检验模型参数的估计值是否具有显著性；二是检验模型的残差序列是否为白噪声。参数估计值的显著性检验是通过t检验完成的Q检验的零假设是H0： 1 2 k即模型

的误差项是一个白噪声过程。Q 近似服从

2

统计量定义为Q T T 2

k p q 分布，其中T表示样本容量，rk表示用残差序列计算的自相

关系数值，k表示自相关系数的个数，p表示模型自回归部分的最大滞后值，q表示移动平均部分的最大滞后值。用残差序列计算Q统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有其他成份，自相关系数不等于零。则Q值将很大，反之Q值将很小。判别规则是：

若Q k p q ，则接受H0。

2

若Q k p q ，则拒绝H0。

2

其中 表示检验水平。

模型求解

回归分析模型的模型求解

从图1中我们大致可以确定该图与幂函数多项式的图象较为相近，所以我们建立了多

项式模型，运用matlab计算得到表二

根据多项式模型的检验方法，二次，三次及四次多项式大部分指标差别不大，拟合效果比较差，从五次到七次多项式拟合效果越来越好，到八次多项式F值突然减小，造成拟合效果下降，于是本文选择了七次多项式来拟合。

利用matlab统计工具求解，得到回归系数估计值及置信区间（置信水平 =0.05）见

表三

于是得到回归方程

234

15706 y.3967 16126.7508x 6564.1066x 1124.7878x 95.8665x

4.1564x 0.0880x 0.0007x （其中x表示具体年度减去1977） 绘图如图3

567

5

图3 GDP随时间变化曲线

GDP总量

51015

时间

20253035

由图3，我们可以进一步确定拟合效果非常好。

根据所求得的函数关系式，我们对未来10年对相关书籍的产量进行了预测，预测结果见表四所示:

表四 GDP预测值

ARIMA模型求解

通过计算自相关函数和偏相关函数，确定取d=2。利用AIC准则对表五定阶，取ARIMA（1,2,2）模型。计算得