高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_(3)

( 2 ex 1dx C) x 1

2x

14x214 2[ 2 (x2 1)dx C] 2(x3 C)x 1x 1x 13

即为原方程通解。

★★★(5)

(y2 6x)

dy

2y 0； dx

思路：微分方程中函数关系可以依解题方便来定。本题中若将y看作x的函数，不便解题，若将x看作y

的函数，则可改写成一阶线性微分方程

dx

P(y)x Q(y)，通解公式为 dy

P(y)dyP(y)dy

x e [ Q(y) e dy C]。

解：原方程变形为：

dx31

x y。 dyy2

令P(y)

31

，Q(y) y，

2y

3

3

dy ydy1代入公式得 x e[ ( y) eydy C] 2

11

y3( 1 y 1dy C) y3( C) y2 Cy3

2y22y

即为原方程通解。

★★ (6)

ydx (1 y)xdy eydy ；

思路：同题（5）

dx1 yey

解： 原方程变形为 x

dyyy

。

ey1 y

令 P(y) ，Q(y) ，

yy

代入公式得原方程通解为x

e

1

( 1)dy

y

ey (y 1)dy( edy C)

y

1

1 yey1 ye2yy

yedy C] e ( C) e[ yyy2

1ey

( Ce y)y2 。

★★★(7)

dy1

dxxcosy sin2y

；

思路：同题（5） 解： 原方程变形为

dxdx

xcosy sin2y，即 xcosy sin2y。 dydy

令 P(y) x

cosy ，Q(y) sin2y，代入公式得

cosydy

e

( sin2ye

cosydy

dy C)

esiny( sin2ye sinydy C) esiny ( 2sinycosye sinydy C)

esiny ( 2sinyde siny C) esiny ( 2sinye siny 2 e sinydsiny C)

esiny ( 2sinye siny 2e siny C) 2siny 2 Cesiny。

★★ (8)

(x2 2xy y2)

dy

y2 0； dx

解： 原方程变形为

dx12

(2 )x 1。 dyyy

令P(y)

12

,Q(y) 1 ，代入公式得 2

yy

(y y2)dy

1y2

1

x e

[ e

1y

(y2 y)dy

12

dy C]

y2e( e

1y

1y

1

dy C) 2y

1y

y2e(e

★★★（9）

C) y2 Cy2e

。

y f (x)y f(x)f (x)；

解：P(x) f (x)，Q(x) f(x)f (x)，

代入公式得

f (x)dxf (x)dx

y e ( f(x)f (x)e dx C)

e f(x)( f(x)f (x)ef(x)dx C) e

f(x)

( f(x)de

f(x)

C)

e f(x) (f(x)ef(x) ef(x)df(x) C)

e f(x) (f(x)ef(x) ef(x) C) f(x) 1 Ce f(x)。

2.求下列微分方程满足初始条件的特解：

★(1)

dy

3y 8， yx 0 2； dx

解：由通解公式得

3dx3dx

y e ( 8 e dx C) e 3x(8 e3xdx C) e 3x(8e3x C) 8 Ce 3x。

33

2 2由y， 得C ，

x 03

2故所求特解为y (4 e 3x)。 3

★(2)

dy

ytanx secx，yx 0 0； dx

tanxdx

tanxdx

( secx e dx C) 1( secx cosxdx C) 1(x C)。

cosxcosx

解：由通解公式得

y e

由

yx 0 0，得C 0，

y xsecx。

故所求特解为

★ 3. 求一曲线的方程， 这曲线通过原点，并且它在点(x,y) 处的切线斜率等于2x y。

解：由题意知y 2x y，并且y

由通解公式得

x 0

0，

dx dx

y e ( 2xe dx C) ex(2 xe xdx C)

由

ex( 2xe x 2e x C) Cex 2x 2 。

yx 0 0， 得C 2 ，

故所求曲线的方程为

★★4 设连续函数

y 2(ex x 1)。

x

y(x)满足方程y(x) y(t)dt ex，求y(x)。

x

解：方程两边关于x求导，得 y (x) y(x) e，为一阶线性非齐次微分方程。

利用公式得通解为

dx dx

y e ( exe dx C) ex( dx C) ex(x C)。

由

yx 0 1，得C 1，

y ex(x 1)。

故所求曲线的方程为

5。求下列伯努利方程的通解：