高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_(2)

y xeCx 1 。

yy

ycos)dx xcosdy 0；

xxdyyy

解：原方程变为 sec 。

dxxx

du1y

令u ，则原方程化为 u x secu u，即cosudu dx，

xdxx

★(3)(x

两边积分得 sinu将u

lnx C，

yx

代入上式得原方程的通解 sin

yx

y

lnx C。 x

★(4)

y e

y ； x

解：令u

yx

， 则原方程化为 u

u

x

dudu eu u，即x eu， dxdx

分离变量得 edu

1

dx， x

两边积分得 e将u

u

lnx C1，即 u lnC lnx，

yx

代入上式得原方程的通解

u

y

lnC lnxx

， 即

y xlnC lnx

。

注：也可将 e

★(5)

lnx C1中的C1改写为 C，与后面出现的C保持一致

y(x2 xy y2)dx x(x2 xy y2)dy 0；

yy ()2

dyy 解：原方程变形为

yydxx

1 ()2

xx

1

。

y

令u

x

du1 u u2

，则原方程化为 u x u

dx1 u u2du2u 2u3

，即x

dx1 u u2

，

1121 u u22

分离变量得 ，即 （ ）du dx， du dx23

uu 1xxu u

两边积分得 lnu

arctanu 2lnx lnC

，即Cx

2

u e arctanu，

y

将u

x

代入上式得原方程的通解 Cxy e

y

arctanx

。

3.求下列各初值问题的解：

知识点：可分离变量，以及齐次型微分方程求解。

思路：求得通解的条件下代入初始条件，解出其中的任意常数，代入通解即得所求特解。

★(1)

xydx dy 0,yx 0 0； 1 y1 x

解： 分离变量得 y(1 y)dy x(1 x)dx，

两边积分得

(y y

2

)dy (x x)dx，即

2

y2y3x2x3

C， 2323

由

yx 0 0得C 0，

所以所求特解为

y2y3x2x3

2323

。

y

y x yx 1 2；

yxydu 1 u 即udu 1dx，

解： 令u ， 则原方程化为 u x

dxuxx

12

两边积分得u lnx C，

2y22

将u 代入上式得原方程的通解y 2x(lnx C)，

x

★(2)

由

yx 1 2得C 2 ，

y2 2x2(lnx 2)。

故所求特解为

注：课本所给答案不含绝对值符号，根据通解的定义也是允许的。

4.化下列方程为齐次方程，并求出通解：

知识点：对于形如

a1x b1y c1 dy

f ax by c 的方程解法。 dx22 2

★★★（1）

dy2y x 5

；

dx2x y 4

解：联立

2y x 5 0 x 1

，解之得 ，

2x y 4 0 y 2

x X 1dydY

，则dxdX y Y 2

2

，

做平移变换

Y

1

dY2Y X

代入原方程得。 YdX2X Y

2

X

令

Y

u，Y uX， X

du2u 1duu2 1

代入原方程得u X，即X，

dX2 udX2 u

分离变量得

2 u111311

，即 du dX(. .)du dX ， 2

X2u 12u 1Xu 1

两边积分得：

131

lnu lnu lnX lnC，化简得：u 1 C(u 1)3X2。 222Y将 u代入得：Y X C(Y X)3， X

将

X x 1，Y y 2回代得原方程通解(y x 3) C(y x 1)3。

★★★（2）

(x y 1)dx (4y x 1)dy 0 ；

x y 1 0 x 1dyx y 1

，联立 ，解之得 ，

dxx 4y 1 x 4y 1 0 y 0

，

解：原方程化简为

x X 1dydY

做平移变换 ，则

y YdxdX

YdYX Y代入原方程得

YdXX 4Y

1 4

X

1

。

Ydu1 udu4u2 1令， 即X， u，Y uX，代入原方程得u X XdX1 4udX4u 1

分离变量得

4u 114u11

，即 du dX( )du dX222

XX4u 14u 14u 1

，

两边积分得：

11C

ln(4u2 1) arctan2u lnX ，化简得 lnX2(4u2 1) arctan2u C。 222Y2Y将 u代入得 ln4Y2 X2 arctan C， XX

2y22

将X x 1，Y y，回代得原方程通解 ln4y (x 1) arctan C。

x 1

★★★5.利用变量代换的方法求

(x y)dx (3x 3y 4)dy 0的通解；

思路：先化成形如

a1x b1y c1 0a1b1 a1x b1y c1 dy

，由于，所以联立无解。 f dxa2b2 a2x b2y c2 a2x b2y c2 0

做变换u

a1x b1y即可求得通解。

解：原方程化简为

x y 0dyx y

，联立无解，无法应用平移变换。

dx3x 3y 4 3x 3y 4 0

dudy

1 ， dxdxduu4 2u

代入原方程得 ， 1

dx4 3u4 3u3u 432

分离变量得du dx， 即 ( )du dx，

2u 422u 43

两边积分得 u lnu 2 x C。

2

3C

将u x y代入得(x y) lnx y 2 x ，

22

令u

x y，则

化简得x 3y 2lnx y 2 C 即为所求通解。

★★ 6. 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在

t 10s时，速度等于v 50cm/s， 外力为F 4g cm/s2， 问运动1分钟后的速度是多少？

解： 已知F k

故4 k

t， 并且当t 10s时， v 50cm/s，F 4gcm/s2 ，

v

10， 从而k 20， 因此F 20t。 50v

dvt

又由牛顿定律F ma，即1 20，

dtv

故vdv 20tdt， 即为速度与时间应满足的微分方程。

1两边积分得 v2 10t2 C，即v 20t2 2C。 2

122

由初始条件t 10s时， v 50cm/s，有 50 10 10 C，解得 C 250，

2

因此 v 当t

t2 500。

60s时， v 20 602 500 269.3cm/s即为所求。

★★ 7.求一曲线的方程，该曲线通过点

(0,1)且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

解：设曲线方程为y f(x)，切点为P(x,y)，则与原点连线斜率为

yx

，

由题意得曲线满足的微分方程为

dyx

， 即 ydy xdx， dxy

两边积分得

y2x2C

222

，

方程通解为x

2

y2 C 。

又曲线通过点(0,1)，代入通解得 0 1 C， 所以所求曲线方程为x

★★★8 设有连结点

2

y2 1。

A 对于O A上任一点P(x,y) 曲线弧O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧O

2

与直线段所围图形的面积为 求曲线弧O A的方程。 O Px

解： 设曲线弧O A的方程为y y(x)，由题意知满足下面方程

0

x

y(x)dx 1xy(x) x2，

2

方程为积分形式的方程，需化为微分方程。

y

y(x) 1y(x) 1xy (x) 2x， 即y 4为齐次方程。

22x

4ydu u 4， 即

令u 则有 u xdu dx，

dxxx

两边积分得 u 4lnx C 。

y

将u 代入上式得方程的通解 y 4xlnx Cx 。

x

两边求导得 由于

A(1,1)在曲线上，即y(1) 1，代入通解求得C 1，

y 4xlnx x。

从而所求曲线方程为

注：积分化为微分形式的方程，往往利用变 …… 此处隐藏：2480字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……