立体几何问题的模型化处理(一)

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直击高考思想方法系列之

立体几何问题的模型化处理

中学立体几何的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究。高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明。通常利用 “构造模型法”突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力。常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等。

一、构造正方体模型解题

当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。

例1 对于直线m、n和平面，下面问题中的真命题是（ ） A.如果m a,n a,m、n是异面直线，那么n∥ B.如果m a,n a,m、n是异面直线，那么n与a相交 C.如果m a,n∥a，m、n共面，那么m∥n D.如果m∥a,n∥a，m、n共面，那么m∥n 分析：构造正方体，如图1.

对于选项A，设a为平面ABCD，m为AB，n为C1C，则n⊥a，故A错。 对于选项B，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1D1，则n∥a，故答案B错。

对于选项D,设a为平面AC，m为A1B1，n为B1C1，此时m与n相交于B1，故答案D错。 ∴正确答案为C，事实上，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1B1，∵AB∥A1B1，∴m∥n. 例2 由空间上一点O出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角。

解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O到四个顶点A、B、C、D连线所夹的角相等，则∠AOD就是所求的角。

设正方体的棱长为a，则OA OD AD

2a,cos AOD

13

32

2

a,

2

OA OD

2

AD

2OA·OD

13

,

则所求角为 arccos.

评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中。因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决。正四面体的体积是它外接“正方体”体积的

13

13

.即

V正四面体

V正方体，并可由这个模型推导出正四面体的体积V

212

a(a为四面体的棱长）。

3

例3 已知平面及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）底面为平行四

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边形，但不是菱形和矩形的四棱锥；（3）正四面体。

问这三个几何体在平面上的射影可以为正方形吗？请加以说明。

分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起至一定高度可使其在底面（即水平面）上的射影可变为正方形。

对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断。对于（2），如图3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别在BB1、DD1上取E、F，使得

BE

13BB1，D

F 1

13

D1D，则四棱锥A1－AEC1F符合条件。

对于（3），把正四面体A1－BC1D放在正方体ABCD－A1B1C1D1，如图4，即可得其在底面a上射影为正方形。

评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得到一个正方形。

例4 已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°,PA=AC=BC,求AB与PC所成的角。 解：构建一个正方体，如图5，PC与AB两异面直线所成的角为DB与AB所成的角，而△ABD是等边三角形，∴PC与AB成60°角。

评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交。

二、构造长方体模型解题

在某些类似的问题，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型。

例5 過球O的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，且PA=3，PB=5，PC=，求球O的半径。

分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，球O就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O的直径，设半径等于R，则有2R

R

232

PA PB PC

222

23，

.

评注：从同一点出发的三条棱两两相互垂直，其长度分别为a、b、c，就可以构造长方体模型，外接圆的直径就是对角线的长，所以2R

a b c.

2

2

2

例6 已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积。 分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.

通过分析已知条件，构造长方体ABCD－A1B1C1D1，如图6，其中四面体D1AB1C符合条件。令AC=5，B1C=6，AB1=7，由勾股定理得AB2=19,BC2=6,AA12=30.

∴V四面体

13

V长方体

13

6 30 295.

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评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的

13

.

例5是全日制普通高中教科书《数学》第二册（下A）第73页例2的改编题，该题是2003年全国高考理科第12题和2005年辽宁省高考题理科17题中第3小题的原形题。

三、构造“三节棍”模型解题

《全日制普通高中教科书（实验修订本·必修）》第二同（下B）第80页复习参考题九第2题给出了三条棱AB、BC、CD两两互相垂直的四面体ABCD（图7），这是一个很有用的几何模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质：

（1）CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD；

（2）相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE⊥面ACD，CF⊥面ABC），此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们把它称为“三节棍”模型。

利用此模型，可解决棱柱或棱锥中的线线、线面的垂直问题，应用十分广泛。 例7 如图8，在三棱锥A－BCD中，AB、BC、CD两两垂直。 （1）由该棱锥所有相邻的两价目面组成的二面角中，哪些是直二面角？ （2）若AD与平面BCD成45°，AD与平面ABC所成角30°，求二面角B－AD－C的余弦值。

分析：（1）可由找三棱锥各个方面的垂线入手，AB、BC、CD两两垂直成“三节棍”模型，

∴AB⊥面BCD,∵AB 平面ABD,∴面ABD⊥面BCD，且面ABC⊥面BCD。 同理，A－BD－C，A－BC－D，D－AC－B等都是直二面角。

（2）由AB⊥平面BCD，可得∠ADB，即为AD与平面BCD所成的角，∴∠ADB=45°. 同理，∠DAC=30°,作BE⊥AC,垂足为E，作BF⊥AD垂足为F，连结EF，可得BE⊥平面ACD。 ∵BF⊥AD EF⊥AD,∴∠BFE是二面角B－AD－C的平面角。 ∵EF=AF·tan30°=∴cos BFE

33

AF,BF=AF·tan(90°－45°)=AF,

33

EFBF

,即二面角B－AD－C的余弦值为

33

.

例8 如图9，在四棱锥P－ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点。（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧画PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。

分析：（1）略。

（2）∵PA⊥AD,AD⊥DC,即PA、AD、DC两两垂直。 ∴PA、AD、DC构成了一个三节棍模型。

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过D作AC的垂线DF交AB于F，由性质（2）DF⊥面PAC，且知∠ADF=为PF的中点即为所求的点。

∵EN∥DF,而DF⊥面PAC，∴EN⊥面PAC。 此时，N到AB的距离为

12AF

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