2014届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2 参数方程(人教A版)

第2讲 参数方程

考点梳理

1．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变 x＝f t

数t的函数 ①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点

M(x，y)数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化

(1)参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 x＝f t ，

方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么 就是曲线的参

y＝g t 数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

x＝－1－t，

1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程 (t为参数)所表示的图形分

y＝2＋t别是( )．

A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线

xx

解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．

x＝－1－t，又∵ 相加得x＋y＝1，表示直线．

y＝2＋t，答案 D

x＝1－2t，

2．若直线 (t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.

y＝2＋3t x＝1－2t，

解析 参数方程 所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直

y＝2＋3t， 3 4

线4x＋ky＝1垂直可得－2 －k ＝－1，解得k＝－6.

答案 －6

x＝5cos θ，

3．二次曲线 (θ是参数)的左焦点的坐标是________．

y＝3sin θ x2y2

解析 题中二次曲线的普通方程为2591左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0)

x＝t＋1，

4．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1： (t为参数)与

y＝1－2t x＝asin θ

曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. y＝3cos θ

x2y2

解析 曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2a＋9＝1，直x2y2 3

线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为 20 ，故曲线a9＝1也经过这个点，代

33

入解得a＝2 舍去－2.

3

答案 2 x＝ 5cos θ，

5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ＜π)和

y＝sin θ5 x＝2， 4(t∈R)，它们的交点坐标为________． y＝t

x＝5cos θ，x22解析 由 (0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5<x≤5)，

y＝sin θ 5 x＝2，5

由 4(t∈R)得，x＝42， y＝t

4

∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)． 5 25

. 则x＝4y2＝1又θ≥0，得交点坐标为 1，

5 25

答案 1，

5

对应学生 211

考向一 参数方程与普通方程的互化

【例1】 把下列参数方程化为普通方程： x＝3＋cos θ，(1) y＝2－sin θ；

1x＝1＋2t， (2)

3

y＝5＋ 2t.

cos θ＝x－3，

解 (1)由已知 由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,

sin θ＝2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.

3

(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中， 3

得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋5

3＝0.

参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去

参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．

x＝cos α，

【训练1】 (2010·陕西)参数方程 (α为参数)化成普通方程为

y＝1＋sin α________．

x＝cos α， x＝cos α， ①

解析 由 得

y＝1＋sin αy－1＝sin α， ② ①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1. 答案 x2＋(y－1)2＝1

考向二 直线与圆的参数方程的应用

x＝2＋tcos α， x＝1＋cos θ，

【例2】 已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其y＝sin θ y＝3＋tsin α中t为参数，α为直线l的倾斜角)．

2π

(1)当α＝3l距离的最小值； (2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

2π

解 (1)当α＝3l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心3

坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝23，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.

(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直

角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有π3π 3 α＋α＋ 解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)－12≥0，则sin ≥，即sin6 46 2或

2

2

π

sin α＋6

π 33ππ2πππ

≤－2又0≤α＜π，故只能sin α＋6 ≥2，3≤α＋63即6α≤2.故α

ππ

的范围是 62.

如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直

角坐标方程．

x＝1＋t，

【训练2】 已知直线l的参数方程为 (参数t∈R)，圆C的参数方

y＝4－2t x＝2cos θ＋2，程为 (参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．[来

y＝2sin θ 源: ]

x＝1＋t，解 由 消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，

y＝4－2t

x＝2cos θ＋2，由 消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为 y＝2sin θ(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝

5 25

22－

5. 5

考向三 圆锥曲线的参数方程的应用

x22

【例3】 求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆4y＝1所得的弦长．

2

x＝1－ 2，

由条件可知直线的参数方程是

2

y＝1＋ 2|2×2＋0－6|5

5，

2＋1

所以所求弦长为2

解

(t为参数)，代入椭圆方程

2 1－ 2

2 2

1＋t 2＝1， 可得＋

42

5

即22＋2t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数2

t＋t12 5，

的关系可得

2tt 125

则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝

242 6

2 2

－ －4×＝

555

普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入

参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．

【训练3】 (2013·南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1

x＝t＋ t 1y＝t－ t

(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．

解

3

x＝－3＋2s，

直线的参数方程为

1y＝ 2

(s为参数)，

1

x＝t＋ t

又曲线 1

y＝t－ t

(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上

式，得s2－3s＋10＝0， 设A、B对应的参数分别为s1，s2. ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10. ∴

|AB|

＝