与调和点列有关的平面几何问题(2)

因此， B、 Q、 C、 R四点共圆，即D R’ D Q=D B。 D C=D M‘ D P.

由相交弦定理的逆定理知△ P Q R的外接圆过 B C的中点 .

(提示：易知

与B C不平行 .设

与

注：例 6中三条高线的实质是为了确定8、 C、 E、 四点共圆，故将三条高线推广为曰、 C、 E、 F四点共圆时结论仍成立 .

B G的交点为 Q.则 Q、 D, C、 B是调和点列 . 又是 B c是中点，则 Q M Q D=Q c Q B.利用割线定理得 p C Q B=Q E- Q F.因此， Q M Q D=Q E Q F,即 D、、 E、 四点共圆 . )

练习题1 .已知 A为 (三 ) 0外一点，过 A引 o 0的’

4 .在四边形 A B C D中，对角线 A C平分 B A D,在 C D上取一点 E, B E与 A C交于点,

割线交 (三 ) 0于点 B、 c,且点在线段 A C的

延长 D F交 B C于点 G.求证：C= C.

内部 .过点 A引(三 ) 0的两条切线，切点分别为、 .设 A C与 5交于点 P.证明：P A一

( 1 9 9 9,全国高中数学联赛)(提示：设A C交 B D、 G E于点Ⅳ、 M,延长

,.

PC—。‘ BC’

G E与 B D交于点Ⅳ.则、 D,Ⅳ、~成调和点列.由A C平分 B A D知 A l l _ l I A N,又知 G、E, M、Ⅳ成调和点列，且 A M上 A N,所以， A C 平分 G A E.故 G A C= E A C. )

(第2 1届北欧数学竞赛)(提示：过点 0作 O H上 B C于点 H.易证A、 S、、 T四点共圆 .则△ A P T∽△ A T H,即

A 7 1 2=A P AⅣ=A B A C.而Ⅳ是 B C的中点， 可根据判定 1中条件 ( 4 )知 A、 P, B、 C是调和点列 .于是，由性质中的结论 ( 3 )知 B C A P=

5 .在△ A B C中， A B>A C,它的内切圆切边B C于点 E,联结 A E交内切圆于点 D(不同于点 E ) .在线段 A E上取异于 E的一点 F, 使得 C E= C F,联结 C F并延长交 B D

于点

2 A B PC. )

2 .已知△ A B C的外心为 0, P为

延

G.求证： C F=F G.

长线上一点，直线 f与P B关于对称，直线 h与 P C关于 A C对称， f与 h交于点 Q.若 P在的延长线上运动，求 Q的轨迹 . (第3 8届奥地利数学奥林匹克 )

( 2 0 0 8,中国国家集训队选拔考试 ) (提示：过点 D作内切圆的切线，分别交

A B、 A C、 B C于点、』 v、 .易证 M K// C G .由牛顿定理知 B N、 C M、 A E三线共点，故、 C,、

(提示：设？与交于点 R, O A与O 0的另一个交点为 D.则 A B D=9 0。 .于是， B A、 B D分别是 P B R的内、外角平分线 .因此， P、 R, A、 D是调和点列 .又因为 A C D=

K是调和点列 .从而， B C E K=2 B K E C,.

即藤 B C=

i"…

"

I BC…

C G=,

:

,

因

此， =

C F=F G. )