与调和点列有关的平面几何问题

原作者沈毅

6

中等数学

与调和点列有关的平面几何问题沈毅(重庆市合川太和I f f学， 4 0 1 5 5 5 )

(本讲适合高中)

件之一均可判定点 c、, )调和分割线段 A B. ( 1 )点/ I、曰调和分割线段 C D;1 1 , )

调和点列是射影几何学的重要内容，它在平面几何中也有着广泛的应用 . 1知识简介1 . 1调和点列的定义

( 2 ) +

;

( 3 ) A B C D:2 A D B C; ( 4 ) D A D B=D M D C;

定义

对于线段， 1 的内分点 C和外分,

点 D满足=丽 A D则称点 c、 D涮和分割线

判定 2对于线段 A B的内分点 c和外分点 D, 是线段 A 8的中点，且在 J 4、 c 之间.则满足下列条件之一均可判定点 C、 D 调和分割线段 A B.( I ) C A C B=C M C D;( 2 ) MA:MB=MC MD.

段 4或者/ 1、, c、 D是调和点列 .1 . 2调和点列的基本性质与判定

性质

对于线段 A B的内分点 c和外分

证明：如图 l,设C B:凡.B D: D.

点 D满足 c、 D凋和分割线段 A B, M是线段A B的中点，则有以下结论成立： ( 1 )点、 B调和分割线段 C D;( 2 ) + ;A C阉l

曰

D

则D M:

+P .

( 3 ) A B C I ):2 A D B C:

山调和点列的定义知

( 4 ) ( C B:C M C D; ( 5 ) D B=D M D C;( 6 ) M A =M B =MC MD.

点 C、 D调和分割线段 A曰甘一

§

一

一—± ±巳

判定 1 对于线段 A B的内分点 C和外分点 D, M是线段 A B的中点，则满足下列条收耐 H;钳： 2 0 0 8— 0 8—1 5修p - i【 l J{》』: 2 0 o 8—1 1—0 5

兮m凡+凡 +n p一

= 0 .

①

点 A、 B调和分割线段 c DDB§=

D A c mL/ l,

=

甘式①;

(提示： 2 0 0 3是数阵从上向下、从左往右

则2 0 0 3在第几组？( 2 0 0 3,河北省初中数学创新与知识应用

数的第 1 0 0 2个数，前 n行共有 l+3+…+( 2 n—1 )=

n个数，而3 1=9 6 1, 3 2 =1 0 2 4,

故2 0 0 3位于第 3 2行第 1 0 0 2—9 6 1=4 1个数. )

竞赛) (提示：用试值法 .前4 5组共有 1+ 2+…+4 5= 1 0 3 5个数 .第4 5组最后一个数是 2 0 6 9,第一个数是 1 9 8 1,所以， 2 0 0 3在第 4 5组. )

5 .观察数组：( 1 ), ( 3, 5 ), ( 7, 9, 1 1 ), ( 1 3, 1 5, 1 7, 1 9 ),……

原作者沈毅

2 0 O 9年第 2期

7

一

AC十

另外两个作结论组成的六个命题均为真命题.限于篇幅，这里仅对由论断( 3 )和( 4 )作题m+ n+口

铮+—m

:—

r r t+

式①;‘一

设、 ( 1 )和( 2 )作结论的命题给出证明.证明：如图 2,不妨设A PC =a, ————

A B C D=2 A D B C

。

( m+r l, ) ( n+P )=2 ( m+n+P ) n

铮式①;D A D B=DM DC

B P C: .

闭，

由P C . LP D知A P D=9 0。+口， B P D=9 0￣一口. A C P As i n/ A P C P As i n a

甘 ( m+, t+ p ) p= ( + P ) ( n+ p )铮式① . 因此，性质中的结论 ( 1 )、 ( 2 )、 ( 3 )、 ( 5 )及判定 1成立 .

蚁

P— B s i n L—B P C— P B s i— n/￣,

A D P As i n A P D P A￣ 0 8口 DB—PBs i n BPD—PBc o s ‘

对于性质中的结论( 4 )、 ( 6 ),若 A、 B, c、D是调和点列，则AC A D 。 C B>l一

所以， = ,即= . sl n cos。 因此，结论( 1 )成立 .

接下来易证结论 ( 2 ),略. 命题 2 设四边形 A B C D是平面四边形，对角线 A C和 B D交于点 P,对边 A B和

于是，点在 A、 C之间 . 此时，与判定 2中题设相同.因此，C M:一 m— -一 n.

D C、 A D和曰 c分别交于点 Q、 R, A C、 B D分别与交于点、 l, .则 Q、 R, X、 y;、 D, P、y; A、 C, P、 均为调和点

列 .证明：如图 3 .

故 C A C B=C M C D 甘腑= (凡+p )铮式①;

MA= MB= MC MD铺

对于直线 B D Y截△A Q R、直线 Q R r

( ) 2= ( + p )① .截△

A B D、直线图3

所以，性质中的结论 ( 4 )、 ( 6 )和判定 2成立 .

Q x R截△ A B C,分别应用梅涅劳斯定理得A8. _

1 . 3与调和点列有关的两个几何命题

下面介绍在平面几何中应用相当广泛的两个调和点列命题 .

Q Y. 一1

8 Q Y R D A 一’

命题 l 对线段 A B的内分点 C和外分点 D以及直线 A B外一点 P,给出四个论断：( 1 ) P C是 A P B的平分线；

A Q. . 一1 Q 8 Y D R A ‘’.

、

型 . :1 X C R B 一。.

③

( 2 ) P D是 A P B的外角平分线；( 3 ) C、 D调和分割线段 A B;( 4 ) P C上P D.

对于点 C与△ A Q R、点 C与△ A B D、点

与△A B C,分别应用塞瓦定理得 B 0. 舰 . 一：l, ④

以上四个论断中，任意选取两个作题设、

原作者沈毅

8

中等数学

A Q . :1 O B P D R A一’,

⑤⑥

=

D M F=妄 B O D.

P C . R B O . A :I一 .’—

A P

于是， B O D= B M D.

从而，、 D、、 D四点共圆 .

比较式①和④、②和⑤、③和⑥分别得AP一 ~ 一~

故 O M F= B MO+ B MF=

BDO+ BA D=9 0￣.

Y R Xk D P D XC PC

所以， Q、 R, X、; B、 D, P、 y; A、 C, P、

因此， 是的中点 .

根据判定 1中条件 ( 3 )知 E、 F调和分割P Q.

分别为调和点列 .

特别地，若肋∥,则视交点 y在无穷远处 .此时， : 列仍成立 .2调和点列的应用

由性质 1中结论 ( 2 )得l一

=1 .上述三组调和点

1

2

P E+

葡’

注：例1是《中等数学》数学奥林匹克问题的高 1 4 2问题 .此题的结论在一些文献中称为“三割线定理”,它是圆中调和点列问题

在平面几何中，有许

多问题的实质都可以归结为调和点列问题加以解决 .2 . 1 以调和点列为证题目的

的典型代表 . 例 2凸四边形 A B C D的对角线交于点 P,两组对边所在的直线分别交于点 Q、 R,经过 P的直线分别交 A、 C D、Ⅳ、 G 证明： 1+ 1: ' . 讲解：如图 5,设

例 1如图4,

于点 M、

过圆外一点 P引该圆的两条割线P A B和 P C D,分别

交圆于点 A、、 c、D,弦A D和 B C交

A C与 Q R交于点 . 则 S、 P, C、 A成调和点列 .于是，S A SC’

于点 Q,割线 P 经过点 Q交圆于点E、 .证明：l一

图4

由直线 Q C N截△P S G、直线 A MQ截2

图5

l

PE+

’

△P S G,分别应用梅涅劳斯定理得讲解：如图 4,记 0是割线所在圆的圆. .一

心.结合切割线定理，可在射线 P F上取点

N G q s C P一’. .一

②③

M,使得

,

PB= PC PD

MG Q S A P一

=

PE’ PF=

‘ PM .

比较式①、②、③得=

.

联结、 、 O M、 B D.易证 A、、 M、 p与 C、 D、 M、 Q分别四点共圆 .则一

因此，、 N, P、 G是调和点列，即1 1 2

BM F=

B AD=

BC D

MP+丽 一 M N

原作者沈毅

2 0 0 9年第 2期

9P( M= POC, = POD .

注：对于例 2,若直线 M N分别与A C、 B D 重合 …… 此处隐藏：3578字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……