2013年广东肇庆二模数学文试题PDF版及答案解析(2)

=

∴Tn=1+2+2+22+3+23+ +n+2n （9

分）

=(1+2+3+ +n)+(2+22+23+ +2n)

12(1 2n)

（11 n(n+1)+

21 2

分）

分）

18解：（1）由茎叶图可知，分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08，所以

2

n+1

n2n

++ 2 （1222

全班人数为n

20.08

（2分） 25（人）

故分数在=[80,90)之间的频数为=n125= 2 7 10 24. （3分） (2) 分数在[80,90)之间的频数为4, 频率为

4

=0.16 （5分） 250.16

所以频率分布直方图中[80,90)的矩形的高为=0.016 （7分）

10

（3）用a,b,c,d表示[80,90)之间的4个分数，用e,f表示[90,100]之间的2个分数，则

===(a,e),(a,f),(b,c),(b,d)，(b,e)，满足条件的所有基本事件为：(a,b),(a,c),(a,d)，====

(b,f)，(c,d),(c,e)(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15个， （10

分）

其中满足条件的基本事件有：

(a,e),(a,f),(b,e)，(b,f)，(c,e)(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共9个 （12分）

所以至少有一份分数在[90，100]之间的概率为

93

=. （14分） 155

18解：（1）过A作AE//CD，根据三视图可知，E是BC的中点， (1 分)

且BE

CE1，AE

CD1 (2 分)

又∵ PBC为正三角形，∴BCPBPC2，且PE⊥BC

∴PE2==PC2 CE2=3 (3 分) =

∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AE (4 分) ∴PA=PE AE=

2，即PA=正视图的面积为S=

2

2

2

(5 分)

1

×2=2

(6 分)

（2）由（1）可知，四棱锥P

ABCD的高PA=底面积为S

， (7 分)

AD+BC1+2

CD×1223

(8分) 2

∴四棱锥P

ABCD的体积为VP ABCD=

113 (10 分) S PA=×=

332（3）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PA⊥AC (11 分) ∵在直角三角形ABE中，AB=AE+BE=2

2

2

2

在直角三角形ADC中，AC2=AD2+CD2=2 (12 =分) = ∴BC2=AA2+AC2=4,∴ BAC是直角三角形 (13 分) ∴AC⊥AB

又∵AB PA=A，∴AC⊥平面PAB (14 分)

=

==

=

22

1 （2分） 20解：（1

）由于点在椭圆上，所以 a2+b2=

2a=

2 a=2

， （4分） 解得 2

b=1

x2

故椭圆C的方程为（5分） +y2=1

2

（2）由（1）知椭圆C的左右焦点坐标分别为F1( 1,0),F2(1,0)，|F1F2|=2

所以， 过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y

x 1

0,x2

4 3

x2

将其代入+y2=1，整理得3x2 4x=0,解得x1

2

当x1=0时，y1= 1，当x2=所以 ABF1的面积：

14

时，y2=

33

S ABF1

（9分）

S AF1F2+S BF1F2

=

111114

|F1F2| y1+|F1F2| y2=×2×1+×2×=222233

x2

（3）过原点的直线L与椭圆+y2=1相交的两点M，N关于坐标原点对称,设M(x0,y0),

2

2x0x22

N( x0, y0),P(x,y)，M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得+y01,+y21

22

2

y2 y01

两式相减得2 = 2

x x02

又∵kPN

y y0

,kPN

x x02

y+y0y y0y+y0y2 y01

，∴kPN kPN 22

x+x02x x0x+x0x x0

故：kPN kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关. （14分）

21解：函数的定义域为(0,+∞)， （1分）

12ax2 2x+a

． （2分） f′(x)a(1+2 xxx2

1

（Ⅰ）当a=3时，函数f(x)=3(x ) 2lnx，f(1)=0，f′(1)=4．

x

所以曲线y=f(x)=在点(1,f(1))处的切线方程为y 04(x 1)，

即4x y 4=0． （4分）

=

（Ⅱ）函数f(x)的定义域为(0,+∞)．

（i）当a≤0时，h(x)

ax2 2x+a<0在(0,+∞)上恒成立，

=

则f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，此时f(x)在(0,+∞)上单调递减． （5分）

（2）当a>0时， （ⅰ）若0<a<1，

4 4a2，

由f′(x)>0，即h(x)>

0，得x<

或x> （6分）

==

． （7分） 由f′(x)<0，即h(x)<

0<x<

所以函数f(x

)的单调递增区间为和+∞)，

（8分） 单调递减区间为．

（ⅱ）若a≥1，h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，此时f(x) 在(0,+∞)上单调递增． （9分）（Ⅲ））因为存在一个x0∈[1,e]使得f(x0)>g(x0)，

则ax0>2lnx0，等价于a>

2lnx0

. （10分） x0

令F(x)=

2lnx

，等价于“当x∈[1,e] 时，a>F(x)min”. x

==

对F(x得F′(x)=)求导，==

2(1 lnx)

. （11分） x2

因为当x∈[1,e]时，F′(x)≥0，所以F(x)在[1,e]上单调递增. （13分） 所以F(x)min另解：

因此a>0. （14分） F(1)0，

==

2ax 2

. =

xx

设F(x)=f(x) g(x)=ax 2lnx，定义域为(0,+∞)，F′(x)=a

依题意，至少存在一个x0∈[1,e]，使得f(x0)>g(x0)成立，

等价于当x∈[1,e] 时，F(x)max>0. （9分） （1）当a≤0时，

==

F′(x)<0在[1,e]恒成立，所以F(x)在[1,e]单调递减，

只要F(x)max

F(1)a>0，则不满足题意. （10分）

2. a

（2）当a>0时，令F′(x)=0得x=（ⅰ）当0<在

2

≤1，即a≥2时， a

[1,e]

上F′(x)≥0，所以F(x)在[1,e]

上单调递增，所以

F(x)max

F(e)ae 2，

2

，所以a≥2. （11分） e

22

（ⅱ）当≥e，即0<a≤时，

ae

由ae 2>0得，a>

在[1,e]上F′(x)≤0，所以F(x)在[1,e]单调递减，所以F(x)max由a>0得0<a≤

F(1)a，

2

. （12分） e2222

（ⅲ）当1<<e，即<a<2时， 在[1,上F′(x)<0，在(,e]上

aaae

F′(x)>0，

所以F(x)在[1,)单调递减， …… 此处隐藏：1124字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……