浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类(2)

于是a

1

2

. n

3.

解：lim n 2

4. 解：

sinx

3cosx 4sinxdx，

sinx A 4sinx 3cosx B 4cosx 3sinx

4A 3B sinx 3A 4

Bco，xs

4A 3B 0

A 4B 0

， 3A 425，B 325

，

历年试题及答案

sinx3cosx 4sinxdx

4

25 34cosx 3sinx 254sinx 3cosx

dx

425x 3

25

ln4sinx 3cosx C. 5. 解：

f x x x x 3

当x 0时，f x x x 1 x 3 3x 4；

当0 x 1时，f x x 1 x x 3 x 2； 当1

x 3时，f x x x 1 3 x x 2；

当x 3时，

f x x x 1 x 3 3x 4.

二．解：

f 0 lim f x

0f x limx 0 1 cosx 1 cosx

0；xf 0 lim

f x f 0 x 0

x lim x 0 f x 1 cosx

1 cosx

x 0；limf x f x 1 cosx

x 0 lim2x 0 1 cosx 1， 2x 2x2

f x f 0 f 0 x

1

f 0 x2 o x22

1

2

f 0 x2 o x2 ， 所以

f 0 1.

三．证明：令

f x tanx

x 13x3 ，f 0 0；

因为

f x

1cos2

x

1 x2

，f 0 0； f x

2sinx

cos3

x

2x，f 0 0；

历年试题及答案

f x 2 1 2sin2x

cosx 1 4

2

2

1 2sinx 1 sin2

x

2

cos4

x

2

sin2x 4 sin2x 0， cos4x

x 0,2

，

所以

f x 0，进而f x 0，f x 0，

即得tanx

x 1x3

3，

0 x 2 .

四．解：A 2

1 sinx 2

sin2x

dx 21

21 2sinx sin2

x dx 2

1 sin2x

2 20

dx；

B 2sin2x

x2 cos2xdx 2 2

sin2x2

0x2 cos2x

dx， 由于sin2x

x2 cos2

x

1，得B A，

C 210 1 sin2x sin2x

4x2

2

dx 22

2

10 10

4x2

2

dx，

利用2

sinxx 1，

x

0,2 ，

10 1 4x2

2

得10 1 sin2x 4x2 2 104x2 2

2 1， 于是C A， 故B A C.

2n

五、设x1n

2

n 1,2, .

k 0n k

，

历年试题及答案

（1）求limxn； （2）证明数列

n

xn 单调减少.

解：（1）显然 2n 12n 1

n2 2n xn n

2

故有

limn

xn 0.

2 n 1

（2）xn 1

1

n2

k

k 0

2n

1

1

k 0

n 1

2

k

1

n 1

2

2n 1

n 1

2

2n 2

，

2n

x2 11

n xn 1 k 0n2

kn 1

n 1 2 k

n2 4n 2 n2 4n 3

2n 1 2n 1

1n2 2nn2

4n 1 1 n2 2n n2 4n 1

2n n 1

n2

2nn2

4n 1 0，

于是数列 xn 单调减少.

六．解：（1）

f x 13x2 2

3

，在 0, 上严格单调递增，

欲使

f a,b a,b ，必有f a a，f b b. 考虑

f x 12

3x2 3

x，

x2 3x 2 0，

2

2

3 1

x 2 2

，

x1 1，x2 2，

所以存在区间

1,2 ，使f 1,2 1,2 .

历年试题及答案

（3）f x 在 0, 上严格单调减少，

欲使

f a,b a,b ，必有f a b，f b a.

1a b，1

b

a， 所以存在区间 a,1 a

， 0 a 1 ，使得

f a,1 1

a a,a

. （4）f x 在 0, 上严格递增，

欲使f a,b a,b ， 必须

f a a，f b b.

f x 1

1

x

x， x2 x 1，

2

x 1 2 34，此方程无实数解， 故不存在区间 a,b ， a 0 ，使得f a,b a,b .

2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、

计算题（每小题12分，满分60分）

1、计算limn

n 1 x nn ex .

n nx x x x ex 1 x x 解: limn

n 1

limnex

n n n e 1

历年试题及答案

n

x n1 x x e 1 x x e limn nex 1 n 1 limnex n x e

n e

n

1 x x

1 x2ex 1lim n e

n x x2ex 1

lim

1 t t et 0t

nt

ln(1 t)01 t 1

0

t x2ex 1lim

t2 t 01

x2exlimt (1 t)ln(1 t)

t)t2

t 0(1 x2exlim

t (1 t)ln(1 t)

t 0t2

0

x2exlim

1 1 ln(1 t)

t 02t

x2ex。 2、求 1 x4 x8

x(1 x8)

dx.

: 1 x4 x811 x4 x8211 x2 x4

解x(1 x8)dx 2 x2(1 x8)dx 2 x(1 x4

)

dx 11 x2 x4211 x4 x2x2(1 x4)dx 4 x(1 x2)

dx 1 3

1 ABC 1 1

4 x 1 x x 1 dx 4 x 1dx x 1x

1 4 32ln(x 1) lnx 12ln(x 1)

C 38ln(x 1) 11

4lnx 8

ln(x 1) C.

历年试题及答案

2

3、求 1

dy1

ex0 y

ey2

x dx.

解: 1

dy1

ex2

x2

0 y

ey2

x dx

10dy 1eyxdx 10dy 1y

ey2

dx 1dx

x

ex

2

xdy 1dy 1yey20dx

1

x2

1

y)ey2

edx (1 dy 1

2

e 1

xexdx

2

. 4、求过(1,2,3)且与曲面z x (y z)3的所有切平面皆垂直的平面方程.

解:令F(x,y,z) x (y z)3 z

则F2

x (x,y,z) 1,Fy (x,y,z) 3(y z),Fz (x,y,z) 3(y z)2 1令所求平面方程为: A(x 1) B(y 2) C(z 3) 0,

在曲面z x (y z)3上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0, 1}, 则A C 0

在曲面z x (y z)3上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3, 4}, 则A 3B 4C 0. 解得: A B C

即所求平面方程为: x y z 6.

二、(15分)设f(x) ex

x3

6

,问f(x) 0有几个实根?并说明理由.

解: 当x 0, ex

0 x3

6

0, e0

0且ex

的增长速度要比x3