浙江省高等数学(微积分)竞赛 工科类

历年试题及答案

04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 一． 计算题（每小题15分，满分60分）

2

xt

e 0costdt x 1． 计算：lim。

x 0

x tanx 1

x

解: 原式 lim

x 0

00

2 etcostdt 2x x2

x

x tanx x

2excosx 2 2x

lim

x 02x tanx xsec2x2excosx 2 2x

lim 2x 0x tanx xtanx

2excosx 2 2x

lim 2x 0xtanx 3 x tanxx 33

xx

x tanxxtan2x x tanxxtan2x

其中lim lim lim3333x 0x 0x 0xxx x

1 sec2xxtan2x tan2xxtan2x4

lim lim lim lim 2323x 0x 0x 0x 03xx3xx3

32ecosx 2 2x3excosx exsinx 1

lim原式 lim 32x 0x 04x23x

1excosx exsinx exsinx excosx

lim

x 022x1 2exsinx1 lim .

x 04x2

000

x

00

历年试题及答案

①lim

tanx sinx

在课堂上作为一个典型的例子; 3x 0x

②tanx x O(x3)

2． 计算：解: 原式

cosx

。 2

x x 2004

cosx2

2

2004 x

2 4

2

2

t2

sinx 2

4

2004

2

2

t 2

sinxt

2

2

2

4

2004

2

2

dx

4

2

2004d

2 2

1

其他想法: 原式

2

cosx cosx 2 2

x x 20042x x 2004

历年试题及答案

后者

2

cosx

2

x x 2004

x t2

cos( t)

(t )2 (t ) 2004

22

2

dt

20

t2

sint 2

4

, 看来做不下去了!!!

2004

3． 求函数f x,y x2 4y2 15y在

x,y 4x2 y2 1上的最大、小值。

解: ①在圆内(开集)

fx x,y 2x, fy x,y 8y 15, 解得驻点(0,

但不在圆域内.

15), 8

②在圆周上4x2 y2 1, 求f x,y x2 4y2 15y的极值, 是条件极值问题.

F x,y x2 4y2 15y (4x2 y2 1) Fx x,y 2x 8 x 0 Fy x,y 8y 15 2 y 0

F x,y 4x2 y2 1 0

解得: 驻点(0,1),(0, 1)

f(0,1) 19,f(0, 1) 11

故最大值为f(0,1) 19, 最小值为f(0, 1) 11. 4． 计算：

3

maxxy,x d ，其中 D

D x,y 1 x 1,0 y 1 。

历年试题及答案

max xy,x3

d

D

xyd x3d x3d

D1

D2

D3

D4

16

二．（本题满分20分） 设f x arctan

1 x

，求fn 0 . 解: f (x) 11 x

2

, 则(1 x2

)f (x) 1, 则两边对x求(n 1)阶导数,由莱布尼茨公式得:

(1 x2)f(n)(x) 2(n 1)xf(n 1)(x) n(n 1)f(n 2)(x) 0,

令x

0,得:

f(n)(0) n(n 1)f(n 2)(0),而f (0) 1,f (0) 0,

当n为偶数;则

f

(n)

(0) 0,

n 1

. ( 1)2n!,当n为奇数;

历年试题及答案

x2y2

1在A 1,三．（本题满分20分） 设椭圆 点的切线交y

49 2

轴于B点，设l为从A到B的直线段，试计算

siny

dx cosyln

x 1 dy。

x 1 l x2y2

1两边对x求导得: 解: 方程

49

x2y

y 0,

29

则y x 1

, 2

x 0 x 直线段l的方程为: y 2

siny

令P(x,y) ,

x 1

Q(x,y) cosyln x 1 则

Pcosy Qcosy yx 1 xx 1

y sin

cosy ln x 1 dx x 1 l

D

BC

dy3

CA

sin1 d dx

0 D x 1

93921 ln2 sin ln2 sin. 422242

历年试题及答案

四．（本题满分20分） 设函数f连续，a b，且 f x 0，

a

b

试证明：f x 0，x a,b 。 证明: ① f x lim f( i) xi

ab

n

0

i 1

由于a b, 故 xi 0, 无论 a,b 怎么分、 i xi 1,xi 怎么取，

lim f( i) xi存在且相等， 即lim f( i) xi 0，

0

i 1

nn

0

i 1

由于f连续，故f x 0，x a,b ；（理由说的不够充分） ②假设存在x0 a,b ，使得f x0 0，不妨设f x0 0， 则 0, x [x0 ,x0 ],都有f x 0，

由于函数f连续，故在[x0 ,x0 ]内存在最大、最小值分别为M0,m0，显然M0 0,m0 0，

而 f x

ab

x0 x0

f x 2 m0 0与 f x 0矛盾，

a

b

故假设错误，即f x 0，x a,b 。 五．（本题满分15分） 判别级数

n

n 1

的敛散性。

n

解：斯特林公式：n! e12n,0 1

e

极限形式：lim

n

n!enn

n 12

1.

n 1

n 1

历年试题及答案

n 1

n 1

收敛

.

n 1

1

n e

2

6n2

1

2 2

n 1n e

故

判别n 1

n 1的敛散性:

0 证明: nn n (1) , 即 n!

3 3

1) 当n 1, 显然成立;

2) 假设n时也成立,即 n!;

n

n

n

3

n 1

3) 当n 1时,

3 n 1

n

n 1

n 1

n 1n n3

n 1

n 1

n 1

n

n 1

n n

3 3

n

n!

n

n n 1 3 n

(n 1)!

n

3(n 1)

1 n 1 (n 1)! 3 n

n

n 1 而 是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个).

n

(n 1)!

33

, 而lim 0,

由夹逼定理得: 0.

n n nn

99

2,而 2收敛, 由比较判别法得:

nn 1n

n 1也收敛.

历年试题及答案

六．（本题满分15分） 设函数f x 在 0,1 上连续，证明：

2

1f x 1f x dx 2， t 0 。 02220 t x 2tt x

2

11f x 1f x 1

dx 2dx 2dx 证明: 2

0t x20t x20t x2

2

2

22

111f x 1f x arctan 2 2. 2200ttt x2tt x

许瓦兹不等式:

n2 n2