高中数学_不定方程

高中奥数试卷

不 定 方 程

【知识精要】

形如x+y=4，x+y+z=3，

11

=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次xy

不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax+by=c，（1）若其中（a，b） c，则原方程无整数解；（2）若（a，b）=1，则原方程有整数解；（3）若（a，b）｜c，则可以在方程两边同时除以（a，b），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．

如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解．

x x0 x cx0

定理2．若不定方程ax+by=1有整数解 ，则方程ax+by=c有整数解 ，

y y0 y cy0 x cx0 bk

此解称为特解．方程方程ax+by=c的所有解（即通解）为 （k为整数）．

y cy ak0

对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：

（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】

一 二元一次不定方程

例1．求方程4x+5y=21的整数解．

x 1 x 21

解：因为方程4x+5y=1有一组解 ，所以方程4x+5y=21有一组解 ．

y 1 y 21 x 5k

又因为方程4x+5y=0的所有整数解为 （k为整数），

y 4k x 21 5k

所以方程4x+5y=21的所有整数解为 （k为整数）．

y 21 4k

x 1

说明：本题也可直接观察得到方程4x+5y=21的一组特解 ，从而得到4x+5y=21

y 5

高中奥数试卷

x 1 5k

的通解 （k为整数）．

y 5 4k

练习1．求方程5x+3y=22的所有正整数解．

x 1

解：方程5x+3y=1有一组解为

y 2 x 22

所以方程5x+3y=22有一组解为

y 44

x 3k

又因为5x+3y=0的所有整数解为 ，k为整数

y 5k x 3k 22

所以方程5x+3y=22的所有整数解为 ，k为整数

y 5k 44

k 3k 22 0

由 解得

5k 44 0 k

22

3，所以k=8，原方程的正整数解为 x 2．

44 y 4

5

说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k的取值范围．

若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．

例2．求方程63x+8y=－23的整数解．

解：（1）用x、y中系数较大者除以较小者．63=8×7+7． （2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1为此． （4）逆序写出1的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63． （5）写出原方程的特解和通解．

x 1

所以方程63x+8y=1有一组特解 ，方程63x+8y=－23有一组特解

y 8 x 23 x 23 8k

，所以原方程的所有整数解为，k为整数．

y 8 23y 8 23 63k