关于矩阵求逆的几种方法

矩阵求逆的几种方法

关于矩阵求逆的几种方法

庄战友

（通辽实验中学，内蒙古通辽

摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍了矩阵求逆的几种方法。

关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式

028000）

-1

阶矩阵A为可逆矩阵时，A=

*1*

A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。|A|

a1%%%a2a1%%%a2

例2：设A=，若|A|==a1a4-a2a3≠0，则存在A

a3%%%a4a3%%%a4

1.定义法

定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

%2%%%2%%3

例1：求矩阵A=%1%-1%%0的逆矩阵。

-1%%2%%1

-1

，且

%%1%a%%%-aA=%%|A|-a%%%%a

-1

4

21

。

3

%%

-1

解：因为|A|≠0，所以A存在。

用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。

3.初等变换法

设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为In，则子块In将变为A，即初等行变换

同样也可以作2n×n矩阵变换，即

-1

x11%%x12%%x1333-1x21%%x22%%x233设A=3，由定义知AA=I，33x31%%x32%%x3333

x11%%x12%%x1331%%0%%0%%2%%%2%%33

x21%%x22%%x233所以%%1%-1%%03=0%%1%%0。33

-1%%2%%%13x31%%x32%x3330%%0%%1

-1

%%%%

%%

。

3

由矩阵乘法得

2x11+2x21+3x31%%%2x12+2x22+3x32%%%2x13+2x23+3x3331%%0%%03

%%%x11-x21%%%%%%%%%%%%%%%%%%x12-x22%%%%%%%%%%%%%%%x13-x2333=0%%1%%033

-x11+2x21+x31%%%%%-x12+2x22+x32%%%%%%-x13+2x23+x3330%%0%%13

x11=13x12=-43x13=-33

x21=1；3x22=-5；3x23=-3。由矩阵相等可解得3

x31=-13x32=63x33=43

3

3

3

3

3

%1%%%-4%%%-3

故A=%1%%%-5%%%-3。

-1%%%%6%%%%%4

2.公式法

定理1：n阶矩阵可逆的充要条件是|A|≠0，而且当n（≥2）

-1

%%

→A%1%%%%2%%%-1

-1

例3：已知A=%3%%%%1%%%%%0，求A。

-1%%%0%%-2

解：作3×6矩阵：

%1%%2%%-1%%1%%0%%0

［A，I3］=%3%%1%%%0%%%0%%1%%0

-1%%0%-2%%0%%0%%1

2431%%0%%0%%-%%%%%%%%993

3210%%1%%0%%%%%%-%%-初等行变换3

33→

31230%%0%%1%%%%%%-%%-993

n

A

%%I

初等列变换

%%

In

-1

A

%%I

n

［In，A］。

-1

，然后对此矩阵只施以初等列

。

%%

%%

1

91359333，3333

-6%%1%%%4

X4=KY4=-3%%1%%%2

%5%%-1%-3

-1

2114%0%=%7。35%0

这样原来的信息编码为14，15，19，12，5，5，16，16，9，14，7。

%%%%%%

第三步，对照编码表，即可获得对方发来的信息内容为“NOSLEEPPING”。

三、希尔密码算法安全性分析

不难看出，希尔密码算法中有两个非常重要的条件。第一个条件是字符（信息）与数字对应表，当加密矩阵的阶数n（本文实例中的加密矩阵的阶数n=3）越大，破译的难度就会增大，此时计算量也大，我们可以借助有关数学软件如Mathematica提高运算效率。第二个条件是加密矩阵，如何定义、求解这个矩阵对于密码的加密和破译至关重要。

从破译密码的角度来看，传统的密码有一个致命弱点，就是破译者可从统计出来的字符频率中找到规律，进而找出破译的突破口，尤其是在计算机技术高度发达的今天，破译的速度更快。希尔密码算法则完全克服了这一缺陷，它通过采用线析，很难被攻破。

希尔密码体系为破译者至少设置了三道关口，加大了破译难度。破译希尔密码的关键是猜测文字被转换成几维向量（列矩阵的行数）、所对应的字母表是怎样排列的，更为重要的是要设法获取加密矩阵A。要破解密码，向量的维数、字母的排列表和加密矩阵三者缺一不可。古今中外的谍报战中，敌对双方总是千方百计地获取破解对方密码的钥匙，但要想获取希尔密码的三把钥匙谈何容易。

世界上没有攻不破的密码，希尔密码也不例外。希尔密码算法的缺点在于线性变换的安全性很脆弱，易被攻击击破，黑客正是利用各种密码的弱点来向用户频频发起攻击的。尽管如此，希尔密码仍不失为一种简便高效的密码。

参考文献：

［1］王育民，刘建伟.通信网的安全———理论语技术［M］.西安电子科技大学出版社，1999：39-40.

［2］姚慕生，高汝熹.高等数学（二）第一分册线性代数［］.，97

矩阵求逆的几种方法

n2%%%-3n1%%%-9

有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B直接化为（A+B）C=I，由此有A+B非奇异，且（A+B）=C；或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其逆矩阵。

例5：证明：若A=0，则I-A是非奇异的，并求（I-A）。证明：∵（I-A）（I+A+A+…+A

（I-A）是非奇异的，∴

且（I-A）=I+A+A+…+A矩阵，并求A。

证明：∵2A-3A+5I=0

2-1-1

2

K-12

K-1

K

-1

-1

-111n%%-故A=。

33n25n%%-n99n

利用初等变换免去计算|A|，所以较高阶矩阵求逆常用此

法。

4.Gauss-Jordan（高斯—约当）法

由定义AA=I，设Y=AX（Y，X均为n维向量），则X=AY。若将Y=AX改写成X=BY，则A=B。具体方法如下：写出Y=AX

-1

-1

-1

）=I

。

2

y1nx1nnn

a11%%a12%%…%%a1nnnny2nnx2n

…nn%aa%%%%ann.n2nn的矩阵形式.=21%22，%nnnnnn..…………%%%%%%nnnn.n.nan1%%an2%%…%%annnnnnnn

ynnxnnnn

y1=a11x1+a12x2+…+a1nxnn

例6：设A为n阶矩阵，且满足2A-3A+5I=0，证明A是可逆

ny2=a21x2+a22x2+…+a2nxn

由矩阵乘法写成方程形式n，

……………%%%%%n

yn=an1x1+an2x2+…+annxnn

经消元后将上式转化为如下形式：y1=b11x1+b12x2+…+b1nxnn

∴2A-3A=-5I

223∴-A+A=I

55

32

∴A（-A+I）=I

55

-123

∴A可逆，且A=-A+I。

55

7.利用多项式法

例7：已知n阶可逆矩阵的特征多项式是f（λ）=|λI-A|=

i

-1

2

n%…%…%…%…%…

n

ny2=b21x2+b22x2+…+b2nxn

∑a

i=0

n

i

，

yn=bn1x1+bn2x2+…+bnnxnn

即X=BY，所以A=B。5.广义的行列初等变换法

此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化。

-1

-iλ，求A。

解：由A可逆可得A的特征多项式是f（λ）的常数项a0≠0，

并由哈密特—凯莱定理知f（A）=0，即anA+…+a1A+a0I=0，故A（-n-1-1n-111

（anA+…+a1I））=I，于是A=-（anA+…+a1I）。当已知a0a0

-1

n

B%%%D

例4：设r+s阶矩阵A=，其中B，C是r，s阶可逆矩阵，

O%%%C

则A=

-1

%%

O%%%C

证明：（I）用广义的初等行变换。

%

B%-BDC

-1

-1-1

%

。

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