高等数学上(同济版)第一章第五节课件

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第一章函数与极限 第一章函数与极限

第五节 极限运算法则一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则1

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一、 无穷小运算法则定理1. 定理 有限个无穷小的和也是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设

ε >0,

当 当

时,有 时,有

取 δ = m { δ1 , δ2 }, 则当 0 < x x0 <δ 时, 有 in

α + β ≤ α + β < ε +ε =ε 2 2因此 这说明当 时, 为无穷小量 .2

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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 举例说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 无穷小之和不一定 举例说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 例如，n n n lim 2 + 2 + 2 + =1 n→ ∞ n +π n +2 π n +n π

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定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设x→ 0 x

u ≤M当

又设 limα =0, 即 ε >0,ε 时, 有 α ≤ M

in 取 δ = m { δ1 , δ2 }, 则当 x∈∪ x0 , δ ) 时 , 就有 (ε uα = u α ≤ M M =ε

故

即

是

时的无穷小. 时的无穷小

推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .4

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例1. 求 解:sinx y= x

1 lim =0 x→ x ∞利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .

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二、 极限的四则运算法则定理 3 . 若 limf (x) = A, limg(x) = B,则有 证: 因 limf (x) = A, limg(x) = B, 则有

f (x) = A+α , g(x) = B+β (其中α , β 为无穷小 为无穷小) 其中于是 f (x) ± g(x) =(A+α) ±(B+β)

=(A±B) +(α±β)由定理 1 可知 α ± β也是无穷小 再利用极限与无穷小 也是无穷小, 的关系定理 , 知定理结论成立 .6

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说明: 可推广到有限个函数相加、 说明 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .

, 推论: 推论 若 limf (x) = A, limg(x) = B 且 f (x) ≥ g(x),则 A≥ B. ( P46 定理 5 ) 提示: 提示 令 (x) = f (x) g(x) 利用保号性定理证明 .

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定理 4 . 若 limf (x) = A, limg(x) = B, 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 提示 利用极限与无穷小关系定理及本节定理 证明 . 说明: 说明 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .

[ 推论 1 . lim C f (x)] =Climf (x)[ 推论 2 . lim f (x)] =[lim f (x)]n n

( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证

例2. 设 n 次多项式 证: lim P (x) = nx→ 0 x x→ 0 x

lim P (x) = P (x0). n n

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定理 5 . 若 limf (x) = A, limg(x) = B, 且 B≠0 , 则有

证: 因 limf (x) = A, limg(x) = B, 有

f (x) = A+α , g(x) = B+β , 其中α , β为无穷小设

A+ A+α A 1 = = (B A ) α β B+β B B(B+β) 无穷小有界

γ 为无穷小 f (x) = A+γ 因此 为无穷小,1 2 < = 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+β B

g(x) 1 B

x∈∪ x0) (9

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定理6 定理 .

若 limxn = A, lim yn = B, 则有n→ ∞ n→ ∞

(1 lim(xn ± yn) = A± B )n→ ∞

(2) limxn yn = A Bn→ ∞

xn A (3 当 n ≠ 0且B ≠ 0时 lim = ) y , n→ yn ∞ B

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例3. 设有分式函数 多项式 , 若 证: 试证: 试证x→ 0 x x→ x→ 0 x

其中

都是

x→ 0 x

lim R(x) =

lim P(x)

limQ x) (不能直接用商的运算法则 .

说明: 若 说明 例4.

(x 3 x 1 )( ) x 1 = lim = lim x→ (x 3 x +3 3 3 )( ) x→ x+3x = 3 时分母为 0 !11

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例5 . 求 分子≠0 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子 , 但因2 x2 5x+4 1 5 1+4 = =0 lim 2 1 3 x→ 1 2x 3

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例6 . 求 解: 时, 分母 分子分母同除以 x2 , 则 原式 = limx x→ 5+21 1 ∞ x x2

分子

4 31 +9 1 2 x

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一般有如下结果： 一般有如下结果：

a0xm +a xm 1 + am + 1 lim 1 x→ b xn +b xn + b ∞ + n 0 1为非负常数 )( 如P47 例5 )

=

( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )

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三、 复合函数的极限运算法则定理7. 定理 设 且存在 时, g(x) ≠ a, 又 使得当 x 满足 则有 ① 证:

取 δ =m {δ1, δ2} , 则当 0< x x0 <δ 时 in 0< g(x) a <η 故 = f (u) A <ε , 因此①式成立 因此①式成立.

>0, >0, 当 0< u a <η ε η 时, 有 f (u) A <ε 对上述 2 >0,当 δ 0< x x0 <δ2 时, 有 g(x) a <η

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定理7. 定理 设

且存在 时, g(x) ≠ a, 又

使得当 x 满足 则有

说明: 说明 若定理中 limg(x) =∞, 则类似可得x→ 0 xx→ 0 x

lim f [g(x)] = lim f (u) = Au→ ∞

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例7. 求

x 3 解: 令 u = 2 x 9已知

1 limu = x→ 3 6

( 见 P47 例3 )

故原式 =

1 = 6

( 见 P34 例5 )

6 = 617

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例8 . 求

u 解: 方法 1 令 u= x , 则 lim =1,x→ 1

x 1 u2 1 = =u +1 x 1 u 1

( ) 故原式 =lim u +1 = 2u→ 1

方法 2

(x 1 x +1 )( ) =lim x +1 ( ) =lim x→ 1 x→ 1 x 1

=218

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内容小结1. 极限运算法则Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7

(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 1 x→x0 时, 用代入法 )

注意使用条件

( 分母不为 0 )

2) x→x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0(2) 复合函数极限求法

3 x →∞时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” )设中间变量19