07879离散数学-屈婉玲(代数结构)5.2-3

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5.2 代数系统及其子代数,积代数 代数系统及其子代数,代数系统定义 同类型与同种的代数系统 子代数 积代数

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代数系统定义与实例定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, 组成的系统称为一个代数系统 简称代 代数系统, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统 简称代 数,记做 V=<S, f1, f2, … , fk>. S 称为代数系统的载体, S 和运算叫做代数系 称为代数系统的载体 载体, 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 统的成分 有的代数系统定义指定了 中的特殊 元素,称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 元素,称为代数常数 例如二元运算的单位元 有时也将代数常数作为系统的成分. 有时也将代数常数作为系统的成分2

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实例<N,+>, <Z,+,>, <R,+,>是代数系统, 是代数系统, 是代数系统 + 和 分别表示普通加法和乘法 分别表示普通加法和乘法. <Mn(R),+,>是代数系统, 是代数系统, 是代数系统 + 和 分别表示 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法 分别表示n 实矩阵的加法和乘法. <Zn,⊕,>是代数系统,Zn={0, 1, … , n-1}, 是代数系统, ⊕ 是代数系统 , 的加法和乘法, ⊕ 和 分别表示模 n 的加法和乘法,x,y∈Zn, ∈ x⊕y = (x+y) mod n,xy = (xy) mod n ⊕ + , <P(S),∪,∩,~> 也是代数系统, 也是代数系统, ∪ 为并和交, 为绝对补 ∪和∩为并和交,~为绝对补 为并和交3

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同类型与同种代数系统如果两个代数系统中运算的个数相同, 定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同, 对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同, 对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同, 则称它们是 同类型的 代数系统. 代数系统 (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同, 代数系统. 也相同,则称为 同种的 代数系统 例1 V1 = <R, +, , 0, 1>, V2 = <Mn(R), +, , θ, E>, 矩阵, θ 为 n 阶全 0 矩阵,E 为 n 阶单位矩阵 V3 = <P(B), ∪, ∩, , B>4

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同类型与同种代数系统( 同类型与同种代数系统(续)V1 + 可交换 可结合 可交换, 可交换 可结合 可交换, + 满足消去律 满足消去律 对+可分配 可分配 + 对 不可分配 +与 没有吸收律 与 V2 + 可交换 可结合 可交换, 可交换 可结合 可交换, + 满足消去律 满足消去律 对+可分配 可分配 + 对 不可分配 +与 没有吸收律 与 V3 ∪可交换, 可结合 可交换 ∩可交换 可结合 可交换, 可交换 ∪不满足消去律 ∩不满足消去律 不满足消去律 ∩对∪可分配 对 ∪对∩可分配 可分配 ∪与∩满足吸收律 满足吸收律

V1, V2, V3是同类型的代数系统 V1, V2是同种的代数系统 V1, V2与V3不是同种的代数系统5

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子代数是代数系统, 定义 设V=<S, f1, f2, … , fk> 是代数系统,B 是 S 都是封闭的, 的非空子集 ,如果 B 对 f1, f2,

… , fk 都是封闭的, 含有相同的代数常数, 且 B 和 S 含有相同的代数常数,则称 <B, f1, f2, … , fk> 是 V 的子代数系统,简称 子代数 有时 的子代数系统, 子代数. 将子代数系统简记为 B. 实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>的子代数 N{0}是<Z,+> 是 的子代数. 是 的子代数 的子代数,但不是<Z,+ 的子代数 的子代数,但不是 +,0>的子代数 说明: 说明: 子代数和原代数是同种的代数系统 其子代数一定存在. 对于任何代数系统 V ,其子代数一定存在6

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关于子代数的术语就是V 本身. 如果V 最大的子代数 就是 本身 如果 中所有代数常数 中所有运算封闭, 构成集合 B,且 B 对V 中所有运算封闭,则 B 就 , 构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 构成了 最小的子代数 最大和最小子代数称为 平凡的子代数. 的真子集, 的平凡的子代数 若 B 是 S 的真子集,则 B 构成 的子代数称为V 的子代数称为 的真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>,令 nZ = { nz | z∈Z},n 为自然 , ∈ , 的子代数, 数,则 nZ 是 V 的子代数 当 n = 1 和 0 时,nZ 是 V 的平凡的子代数,其他的都是 V 的非平凡的真子 的平凡的子代数, 代数. 代数7

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积代数是代数系统, 定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统,其中 o 和 是代数系统 是二元运算. 和 是二元运算 V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1×S2,>, ∈ <x1,y1>, <x2,y2>∈S1×S2 , <x1,y1> <x2,y2>=<x1ox2, y1y2> 积代数< × 例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), >, 积代数 Z×M2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>∈Z×M2(R) , ∈ × <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1M2>1 0 2 1 2 1 < 5, 1 1 > < 2, 0 1 >=< 3, 2 0 > 8

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积代数的性质是代数系统, 定理 设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统,其中 o 和 和 是代数系统 是二元运算. 是二元运算 V1 与 V2 的积代数是 V=<S1×S2,> (1) 若 o 和 运算是可交换的,那么 运算也是可交换的 运算是可交换的,那么 (2) 若 o 和 运算是可结合的,那么 运算也是可结合的 运算是可结合的,那么 (3) 若 o 和 运算是幂等的,那么 运算也是幂等的 运算是幂等的,那么 (4) 若 o 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2,那么 运算 那么 也具有单位元<e 也具有单位元 1,e2> (5) 若 o 和 运算分别具有零元 θ1 和 θ2,那么 运算 那么 也具有零元< 也具有零元 θ1, θ2> (6) 若 x 关于 o 的逆元为 x1, y 关于 的逆元为 y1,那 关于 么<x,y>关于 运算也具有逆元 1,y1> 关于 运算也具有逆元<x9

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5.3 代数系统的同态与同构同态映射的定义 同态映射的分类单同态,满同态,同构 单同态,满同态, 自同态

同态映射的性质

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同态映射的定义是代数系统, 定义 设 V1=<S1,>和 V2=<S2,>是代数系统,其中 和 是代数系统 是二元运算. 和 是二元运算 f: S1→S2, 且x,y∈S1, f (xy) = ∈ f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态 同态

映射,简称同态 同态.

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更广泛的同态映射定义是代数系统, 定义 设 V1=<S1,,>和 V2=<S2,, >是代数系统,其 和 是代数系统 是二元运算. 中 和 是二元运算 f: S1→S2, 且x,y∈S1 ∈ f (x y) = f(x) f(y) , f (x y) = f(x) f(y) 同态映射,简称同态 同态. 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态 是代数系统, 设 V1=<S1, ,, >和 V2=<S2,, , >是代数系统, 和 是代数系统 其中 是二元运算. 是一元运算, 其中 和 是二元运算 和 是一元运算, f: S1→S2, 且x,y∈S1 ∈ f (xy)=f(x)f(y), f (xy)=f(x)f(y), f ( x)=f(x) 同态映射,简称同态 同态. 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态12

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例题例1 V=<R*,>, 判断下面的哪些函数是 的自同态? 判断下面的哪些函数是V 的自同态? (1 …… 此处隐藏：4099字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……