电路分析基础第六章

第6章 正弦稳态电路分析一、什么是正弦稳态电路动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制 响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时 间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。 这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。 在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电 路。

二、研究正弦稳态电路的意义正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此 可利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的 电路响应。

三、正弦稳态电路的分析方法采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。

本章的主要内容6-1 正弦量 6-2 正弦量的相量表示法 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 6-5 正弦稳态电路的功率 6-6 三相电路

6-1 正 弦 量6-1-1 正弦量的三要素u (t ) Um u

正弦电压的瞬时值可表示为：

u(t ) U m cos( t u )

t

um

正弦量的振幅 正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢 正弦量的初相位，表示其起始值的大小

u

规定 u的取值范围为：

u

u可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前为负时，最大值发生在计时时刻之后

u (t ) Um u

u (t )Um

t

u

t

小 常 识

u(t ) U m cos( t u )

u(t ) U m cos( t u )

我国和大多数国家采用50Hz的电力标准， 有些国家(美国、日本等)采用60Hz。

6-1-2

正弦量的相位差

在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量， 因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦 电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间 的相位关系，引入“相位差”的概念。 设两个同频正弦量为：

i1 (t ) 2I1 cos( t 1 )u2 (t ) 2U 2 cos( t 2 )

相位差定义为：

12 ( t 1 ) ( t 2 ) 1 2

同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数

两种正弦信号的相位关系同 相 位

i2 2 1

i1i2

1 2 t i 与 i 同相位 2 1 1 2 0

相位差为0

相 位 超 前 相 位 滞 后

i1

1

2

i1 超前于 i2 ti1 1 2 0

2

1

i2

t

i1 滞后于 i2

比较两正弦量的相位差时应注意： (1)两正弦量必须是同类型的函数

(2)两正弦量必须具有相同的频率(3)初相位要小于π 例：

u(t ) 10 cos(100 t 30 ) i(t ) 5 sin( 100 t 15 ) u(t ) 10 cos(1

00 t 30 ) i(t ) 5 cos(100 t 15 )

6-1-3

正弦量的有效值

在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应， 这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表 示。

当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗 的电能量为

W1 p(t )dt Ri 2 (t )dto o

T

T

直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为

W2 RI 2 dt RI 2To

T

如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即

RI T Ri 2 (t )dt2 o

T

I

1 T

T

0

i 2 (t )dt

则将电流I 定义为周期电流信号i (t )的有效值。 当周期电流为正弦电流时

i(t ) I m cos( t i )

代入上式，可得正弦电流的有效值I为

Im 1 T 2 I 0 [I m cos( t i )] dt 2 0.707 I m T

正弦电流也可表示为

i(t ) 2I cos( t i )同理可得正弦电压u(t)的有效值为

2 有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的 交流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注 的额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的 电压220V,指的就是电压的有效值。

U

Um

0.707U m

总 结

描述正弦量的三个特征量：

振幅、频率、初相位

问题与讨论

若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用

于 220V 的线路上? ~ 220V电器

最高耐压 =300V

有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =

2 220V = 311V

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。

6-2 正弦量的相量表示法正弦量的表示方法： ★ 三角函数式： i I m sini

t t

★ 波形图：

O

★ 相量法：用复数的方法表示正弦量

正弦量为什么要用相量表示？正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同 频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应， 只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了 相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将 描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程 在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦 稳态响应的分析与计算。

6.2 正弦量的相量表示法正弦量的表示方法：

★ 三角函数式： ii

I m cos t t

★ 波形图：

O

★ 相量法：用复数的方法表示正弦量

前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

6-2-1

复

数 jb

一.复数的概念一个复数 A 有四种数学表达形式：

| A|

直角坐标形式：指数形式： 三角形式： 极坐标形式：

A a jbA | A | e j O

a

1

A | A | (cos j sin ) A | A |

复数在复平面上用矢量表示

二.复数运算规则 复数的加、减运算

A A1 A2 (a1 jb1 ) (a 2 jb2 ) (a1 a 2 ) j (b1 b2 )复数的乘、除运算

A1 A2 | A1 | e j 1 | A2 | e j 2 | A1 || A2 | e j ( 1 2 ) | A1 || A2 | ( 1 2 )A1 | A1 | e j 1 | A1 | j ( 1 2 ) | A1 | e ( 1 2 ) j 2 A2 | A2 | e | A2 | | A2 |

三、复数运算定理 定理1 若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有

Re[a A(t )] a Re[ A(t )]定理2 若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有

Re[ A(t ) B(t )] Re[ A(t )] Re[ B(t )]定理3j t 若A为复数,其极坐标形式为 A Am e 。则有

d d j t Re[ Am e ] Re[ Am e j t ] Re[ j Am e j t ] dt dt

定理4

若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足

Re[ Ae j t ] Re[ Be j t ]

则 A B