导数综合练习二利用导数求参数范围

导数综合练习二利用导数求参数范围（7.7）

1、已知函数f x xlnx.

（1）求函数f x 的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y f x 相切，求直线l的方程；

（3）设函数g x f x a x 1 ，其中a R，求函数g x 在 1,e 上的最小值.

（其中e为自然对数的底数）

2．已知{ EMBED Equation.3 |a为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

3． 已知函数在处的切线斜率为零．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；

(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

4.．设函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．

导数综合练习二利用导数求参数范围

1. 解：（1）f x lnx 1,x＞0.………………………………………………………1分 而f x ＞0 lnx+1＞0 x＞,f x ＜0 lnx 1＜0 0＜x＜,

所以f x 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增.………………3分 1e1e 1

e 1 e

所以x 1是函数f x 的极小值点，极大值点不存在.…………………4分 e

（2）设切点坐标为 x0,y0 ，则y0 x0lnx0,切线的斜率为lnx0 1,

所以切线l的方程为y x0lnx0 lnx0 1 x x0 .……………………6分 又切线l过点 0, 1 ，所以有 1 x0lnx0 lnx0 1 0 x0 .

解得x0 1,y0 0.

所以直线l的方程为y x 1.………………………………………………8分

（3）g x xlnx a x 1 ，则g x lnx 1 a.

g x ＜0 lnx 1 a＜0 0＜x＜e

所以g x 在0,e

①当ea 1a 1,g x ＞0 x＞ea 1, a 1 上单调递减，在 ea 1, 上单调递增.………………10分 1,即a 1时，g x 在 1,e 上单调递增，

所以g x 在 1,e 上的最小值为g 1 0.………………………………………11分 ②当1＜ea 1＜e，即1＜a＜2时，g x 在1,e a 1 上单调递减，在 ea 1,e上单调递增.

g x 在 1,e 上的最小值为g ea 1 a ea 1.……………………………………12分 ③当e ea 1,即a 2时，g x 在 1,e 上单调递减，

所以g x 在 1,e 上的最小值为g e e a ae.………………………………13分 综上，当a 1时，g x 的最小值为0；当1＜a＜2时，g x 的最小值为a ea 1； 当a 2时，g x 的最小值为a e ae.…………………………………………15分

2.解：（I）（）．

所以切线的斜率，

整理得. …4分 …2分

显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解．故．

（Ⅱ），．

设，则． …8分 …6分

易知在上是减函数，从而． …10分

（1）当，即时，，在区间上是增函数．

，在上恒成立，即在上恒成立．

在区间上是减函数．

s5u所以，满足题意． KKs5u …12分

（2）当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上递增，在上递减. 又∵，∴．

又∵，

∴在内有唯一一个零点，

当时，，当时，.

从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾．

∴不合题意．

综合（1）（2）得，． …15分

3.（Ⅰ）解：.

由题意有即，解得或（舍去）．

得即，解得． -----5分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

．

在区间上，有；在区间上，有．

故在单调递减，在单调递增，

于是函数在上的最小值．

故当时，有恒成立． …………10分

(Ⅲ)解： ．当时，则，当且仅当时等号成立，

故的最小值，符合题意；

当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；

当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．

综上，实数的取值范围是． …………15分

4.（Ⅰ）当时，的定义域是

求导，得

所以，在上为减函数，在上为增函数，. ……… 3分

又根据在上为减函数，则在上恰有一个零点； 又，则，所以在上恰有一个零点，

再根据在上为增函数，在上恰有一个零点. …… 5分

综上所述，函数的零点的个数为2. ……… 7分

（Ⅱ）令，

求导，再令 ，则 …… 9分

（ⅰ）若，当时，，故在上为减函数，

所以当时，，即，则在上为减函数，

所以当时，,即成立；…… 10分

（ⅱ）若， 方程的解为，

则当时，，故在上为增函数，

所以时，，即，则在上为增函数，

所以当时，, 即成立，此时不合题意. …… 13分 综上，满足条件的正数的取值范围是．…… 14分