高等数学(下)期末考试试卷(A)

高等数学 期末考试题 有答案

试题（A ）卷（闭）

学年第 二 学期 使用班级 学院 班级 学号 姓名

3 x20

1、交换积分次序2、z e

sinxy

dx

1

x2

f(x,y)dy dx

1

3

f(x,y)dy _____________________。

________，则dz __________。

2xds __________。 S

3、设S:x2 y2 z2 R2，则

4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以y C1e x C2e3x为通解，则该二阶常系数齐次线性微分方程为________________。

二、选择题（本题共3小题，每小题3分，满分9分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题后的括号内）

1、设常数k 0，则级数

( 1)n

n 1

k n

[ ] 2n

(A)绝对收敛； (B)条件收敛； (C)发散； (D)敛散性与k的取值有关。 xy22

,x y 0 x2 y2

2、函数f x,y 在原点(0,0)处 [ ]

0,x2 y2 0

(A)连续，偏导数存在； (B)连续，但偏导数不存在； (C)不连续，但偏导数存在； (D)不连续，偏导数也不存在。

3、设V:x y z R，则

2

2

2

2

V

x2 y2 z2dv为 [ ]

2 R44 R444(A)； (B) R； (C)； (D)2 R。

33

三、计算（每小题6分，共30分）

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1 2z

1、设z f(xy) yg(x y)，其中f,g具有二阶连续的导数，求。

x x y

2、计算I 3、求

(x

D

2

y2 2y)dxdy，其中D是由圆x2 y2 2x围成的平面区域。

(e

L

x

siny y x)dx (excosy y)dy，其中L为圆周y 2ax x2上从点A(2a,0)

到点O(0,0)的一段弧。

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4、求曲面ez z xy 3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。

n2 1n

5、求幂级数 x的收敛域与和函数。

nn 1

四、解答下列各题（本题共4小题，每小题每题6分，共24分） 1、设函数z z(x,y)由F(x

zzz

,y ) 0确定，求。

xyx

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2、求函数z xe在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, 1)的方向的方向导数。

3、设y y(x)满足方程y 3y 2y 2ex，且其图形在点(0,1)与曲线y x2 x 1相

2y

切，求函数y(x)。

4、将函数f(x) x( 1 x 1)展开成以2为周期的傅立叶级数。

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五、（本题满分8分）求函数z x2 y2 12x 16y在区域x2 y2 25上的最大值与最小值。

六、（本题满分9分）已知曲线积分（1）求 (x)； （2）计算

七、（本题满分8分）计算

[e

L

x

2 (x)]ydx (x)dy与路径无关，且 (0) 0。

(1,1)

(0,0)

[ex 2 (x)]ydx (x)dy的值。

axdydz (z a)2dxdy

x2 y2 z2

，其中 为下半球面z a2 x2 y2

的下侧，a为大于零的常数。

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高等数学（下）期末试卷（A）

参考答案

一、填空题： 1、

1

dy3 2y0

f(x,y)dx； 2、esinxycosxy(ydx xdy)；

4 R43、3

； 4、y 2y 3y 0。

二、选择题：

1、B； 2、C； 3、B 三、计算： 1、解：

z x 1y

x2f(xy) xf (xy) yg (x y) 2z

x y

yf (xy) g (x y) yg (x y)。 2、解： 根据对称性，

(x2 y2 2y)d (x2 y2)d ， D

D

作极坐标变换

x rcos ，则 y rsin

2

2,0 r 2cos ，

原式

22cos

3

4

d

rdr 482

2

cos d 20

cos4 d 8 I4

2

8 31 3

4 2 2 2

。 3、解：

添加直线段L1:OA，则 原式 (

L L y y x)dx (excosy y)dy 1

L)(exsin1

dxdy 2a0

xdx

22a2。 D

2

a 4、 解：

F(x,y,z) ez z xy 3 ,则

Fz

x y,Fy x,Fz e 1 ，n {y,x,ez 1}

(2,1,0)

{1,2,0}， 所以所求切平面为 (x 2) 2(y 1) 0,即x 2y 4 0 。 所求的法线方程为 x 21 y 12 z 0

。 5、解： 因为liman 1

n

|

a| 1 ,所以幂级数的收敛半径为R 1， n

3分） 3分） 2分） 2分）

2分）

4分）

2分）4分）（1分）（1分）（（（（（（（

（

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又因为当x 1时级数发散，所以该幂级数的收敛域为(-1,1)。 （2分）

x x n2 1n 1 nnn 1n 1 x＝nx x＝xnxdx x 0 0 dx

nnn 1n 1n 1 n 1 n 1

x

1x x

x dx ln(1 x),( 1 x 1)。 （4分） 02

1 x1 x(1 x)

四、解答下列各题： 1、解：

设 (x,y,z) F(x

zz,y ), yx

x F1 F2(

z11), F F， （3分） z122xyx

xx2yF1 yzF2 z

故。 （3分） 2

x zxF1 xyF2

2、解：

{1, 1},|| 2， （1分）

{cos ,sin } {

12, 12

， (2分)

z z

e2y， 2xe2y， （2分）

x y

z z z cos sin l x y

2yxe2y 2x)e2y 函数z xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, 1)的方向的方向导数为

2y 2x)e （2分） (1,0)

3、解：

由条件知y y(x)满足y(0) 1,y (0) 1。 （1分）

由特征方程r2 3r 2 0 r1 1,r2 2,

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对应齐次方程的通解y C1ex C2e2x。 （2分） 设特解为y* Axex，代入方程，得A 2,，则特解为y* 2xex

从而得通解y C1ex C2e2x 2xex, （2分） 代入初始条件得C1 1,C2 0，

则y(x) (1 2x)ex。 （1分）

4、解：

所给函数在[ 1,1]上满足收敛定理条件，将其延拓成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在[ 1,1]内收敛于函数本身。

1

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