信号系统控制理论10.1.1

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第10章 状态空间分析法 章要求：1.理解和掌握一些基本概念； 2.掌握建立系统状态空间表达式的基本方法； 3.会进行状态空间表达式的求解； 4.掌握状态的能性与能关性的判定； 5.熟悉系统状态稳定性的分析； 6.会进行系统的综合 重点：状态空间表达式的建立与分析 难点：系统综合

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10.1 系统的状态空间描述10.1.1 状态空间表达式1. 状态变量

概念： 概念：描述系统状态的最小个数的一组变量中的一个变量。通常用x表示， 对于特殊情况，可用其它。 对于n阶系统，有n个独立变量，这n个变量即构成该系统的n个状态变量。 特点： 特点： ①是时间的函数； ②不唯一。2. 状态矢量和状态导数矢量

将选定的系统所有状态变量及各自对时间的一次导数分别构成的矢 & 量，称为系统的状态矢量和状态导数矢量。分别用x(t)和 x (t )表示： : x1 (t ) x (t ) x (t ) = 2 M xn (t ) x1 x x = 2 M xn & x1 (t ) x (t ) & 2 & x (t ) = M & xn (t ) x2

& x1 x & 2 & x= M & xn

或 x T (t ) = [ x1 (t ) x2 (t ) L xn (t )]3. 状态空间

x T = [ x1

L

xn ]

状态空间： 状态空间：

以状态变量x1、….、xn为坐标轴所构成的n维空间， x(t1)在此空 间中是一个点。

状态轨迹： 不同的t 构成不同的点，各点连接起来形成的曲线。

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4. 状态方程和输出方程 状态方程： 状态方程：系统的状态变量构成的一阶微分方程组

例：列写图示系统的状态方程 解：电路中有2个储能元件：电感和电容，选i和uc为状态变量，有：d u (t) c i(t) = C dt R i(t ) + u (t ) + L d i(t ) = u (t ) c dt 1 & uc = i C 即 i& = 1 u R i + 1 u c L L L

注意:1、状态方程一定要是矩阵形式；

2、状态方程中不能含有输出变量。

令 x1=uc

x2=i

,则

1 & x1 = x2 C x = 1 x R x + 1 u & 1 2 2 L L L

矩阵形式

0 & x1 x = 1 &2 L

1 x1 0 C + 1 u x R 2 L L

& x = Ax + bu

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输出方程： 输出方程：系统输出(y)与输入(u)和状态变量(x)之间的函数关系。

必须写成矩阵形式。 上例中，若选uc为输出， 则 矩阵形式 y=x11

y = [1

x 0 ] x 2

5、状态空间表达式及其一般形式 、

状态空间表达式： 状态空间表达式：状态方程和输出方程的总称 一般形式： 一般形式：

输入：u 1,u2,…, up u1 u 2 u= M u p

状态：x1 x2 … xn x1 x x= 2 M xn

输出：y1 y2 …yq y= y1 y2 M yq

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& x 1 = a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + .... + a 1 n x n + b 1 1 u 1 + b 1 2 u 2 + .... + b 1 p u p x = a x + a x + .... + a x + b u + b u + .... + b u &2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2 p p ...... x n = a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + .... + a n n x n + b n 1 u 1 + b n 2 u 2 + .... + b n p u p & y1 = c11 x1 + c12 x2 + .... + c1n xn + d11u1 + d12u2 + .... + d1 p u p y = c x + c x + .... + c x + d u + d u + .... + d u 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2p p ...... yq = cq1 x1 + cq 2 x2 + .... + cqn xn + bq1u1 + bq 2u2 + .... + bq p u p A — 系统矩阵，n阶方阵 B — 控制矩阵，n×p C — 输出矩阵，q×n D — 直接输出矩阵，q×p(一般为0) 当q=p=1时，为SISO系统；否则为MIMO系统

& x = A x + B u y = C x + D u∑( A, B, C , D)

.

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若A、B、C、D均为常数矩阵，则为线性定常(时不变)系统 若A、B、C、D中任一矩阵的任一元素为时间的函数，则为线性时变系统。 其状态空间表达式的一般形式为：

& x = A (t ) x + B (t ) u y = C (t ) x + D (t ) u若A、B、C、D中任一矩阵的任一元素为状态变量的函数，则为非线性系统。 以上是时间连续的情况，对于时间离散的情况，有：线性离散定常(时不变)系统的状态空间表达式

.

x [( k +1) T ] = G x ( kT ) + H u ( kT ) y ( kT ) = C x ( kT ) + D u ( kT )线性离散时变系统的状态空间表达式

x ( k +1) = G x ( k ) + H u ( k ) y ( k )=Cx (k )+ Du ( k )

x ( k +1) = G ( kT ) x ( k ) + H ( kT ) u ( k ) y ( k ) = C ( kT ) x ( k ) + D ( kT ) u ( k )