2004年重庆市初中数学竞赛初赛

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咿等数学

2 0 0 4年重庆市初中数学竞赛初赛选择题(每小题 5分，共3 5分) 1 .自动门开启的连动装置如图 1所示，一

、

A O B为直角，滑杆仰为定长 1 0 e m,端点 A、 B可分别在 O A、 O B上滑动 .当滑杆佃的位置如图 1所示时， O A= 8 0 6 ' m .若端点 A向上滑动 1 0 c l n,则端点滑动的距离( ) . ( A )大于 1 0 e m, ( B )等于 1 0 L, l ' n ( C )小于 1 0 c m ( D )不能确定

5 .如图 3,一块边长为5 e m的正方形钢板的角被割去一个边长为 1 c m的小正方形，一条直线把这块钢板分为面积图3 相等的两部分 .则这样的直线有( )条. ( A ) 1 ( B ) 3 ( c ) 5 ( D )无数 6 .某计算机系统在同一时间只能执行一一

图 l

图 2

项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务.一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比.现有三项任务、、,计算机系统执行的时间分别为 1 s、 3 s和5 s .现同时提交这三项任务，则使三项任务相对等待时间之和最小的执行顺序是( ) .( A ) U、、 W ( B )、、 U ( C )、、 ( D) U、、 7 .从小到大排列的 1 1个两两不等的自 然数 h ,/ 1 . ,…,/ 1 . 它们的和为 2 0 0 5 .那么，

2 .图2是由若干个小立方体组成的大立方体，阴影部位为空心的通道 .若把这个大立方体的内外表面都染色，则只有一个面染色的小立方体有( )个( C ) 2 0。。 ( D) 2 2 ( A ) 1 6 ( B ) 1 8

的最大值为 (

) .

3 .用“▲”、“●”、“◆”分别表示三种物体的

( A ) 3 2 8 ( B ) 3 2 9 ( C ) 3 3 o ( D) 3 3 1

重量 .如果含= = ,那么，▲、 、◆这三种物体的重量比为(( A) 2: 3: 4 ( C ) 3: 4: 5 t/,+b+c=0 .贝 01十.

) .

( B ) 2: 4: 3 ( D) 2: 5: 4

二、填空题 (每小题 5分，共3 5分) 1 .已知一 2 x—t

= 0 .则代数式 (一1 ) 2一(一 3 ) (+ 3 )一(一1 ) (一3 ) 的值为—— . 2 .如图 4,在矩形脚中， E是 B C上的点，且 A日=2, A D= 3, 8: C D E.则 B一

4 .已知实数 0、 b、 c均不为零，且满足1+ .

1

E 图4

C

B E的长为—— .^

的值 (

) . ( B )为负 ( C )为零

】

】

2

口 l T _;1

+1

了，3

( A)为正

( D )与t/,、 b、 c的取值有关

口 2 j 1

.

; +一 3;一 8,

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2 O 0 5年第 8期1n3 +

1

4,

1

1

5

n

+了

,

按上述规律 n=一、

4 .在半径为 1的o 0中， P是 上的一点.若 A P B= A O B,则弦 A B的长为-.........-..._.._..-.__-●一

5 .上数学课时，老师给出一个一元二次方程+似+b=0,并告诉学生，从数字 1、 3、 5、 7中随机抽取一个作为 n,从数字 O、 4、 8中随机抽取一个作为 b,组成不同的方程共 m个，其中有实数解的方程共 n个 .则, n

6 c m.动点 M、 N分

A

D一

BC C D方向发，沿 、 I/^\/\

在、

BC C D

上运动， 一

c

6 .如图 5,在￣A B C D中，对角线 B D= 4√ 3 c m, A D B=

3 0￣,将△ B C D沿 B D折叠，点 c落在点 E处， B E与 A D 交于点 .若 A H: D H=1: 2,则 . s。一——————一

C

图 5

--

7 .若干个同样的盒子排成一排，小明把5 o多枚同样的棋子分装在盒子中，其中只留 1个盒子是空的，然后他出去了.小光进来后，从每个有棋子的盒子里各拿 1枚棋子放在空盒子内，再把盒子重新排列一下 .待小明回来，仔细查看一遍，却没有发现有人动过棋子.那么，这些棋子共有枚. 三、解答题 (共5 O分) 1 . ( 1 6分 )已知关于的方程 ( m +2 m一3 ) x+2 ( m+1 )=0 的两个实数根互为相反数 . ( 1 )求实数 m

的值； ( 2 )若关于的方程一( k+m) 一3 m k一 5=0的根均为整数，求出所有满足条件的实数 k.——

二、 1 . 6 2 .了 5 3.

1 0 0 0

4.

5 .

6.

一

—

2 . ( 1 6分)某仓库有 5 0件同一规格的某种集装箱，准备委托运输公司送到码头 .运输

{ X l+ l。=: 2 l’或 x解得 o,X.。

1+

=

一

,

1

-

2.

l- - - 2,

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中等数学3 . ( 1 )设点 M、Ⅳ运动了， x s时， MN// B C.则

2 .设需要装运 1件、 2件、 3件集装箱的货车分别为辆、 Y辆、辆 .依题意得 r Y+ =2 0, 【 +2 ',+3 z=5 0 . ①×3一②得 2 x+Y=1 0 . 则 I m,

B M=2 x ( c m),

=1 6— 2 x ( c m), C N=x ( c m) .

又由已知可得 B D=1 0 ( c m) . ①②

过点 D作 D H上B C于点日，则B H=A D= 8 .故 C H=8 (咖), C D=B D=1 0 ( c m) . 因此， D N=1 0一x ( c m) . 当由=丽 C N时 M Nf fB D.,

0+ x.

因为 ),≥0,所以， 0≤x≤5 .

=

,得=可 4 O( s ).

故只能取 0、 1、 2, 3、 4、 5 .共有

( 2 )存在.S=

睡臣；这六种安排方式 .设总运费为元 .则=1 2 0 x+ 1 6 0 y+ 1 8 0 z

=S栅舢一( S

+S

+

)

( 8+1 6 )× 6一 ×

[ 6× 2 H( 1 6— 2了 3Ⅲ( 6一 】=7 2一( 6 t了 2 4t一

=

号 + 2 4一 t ) 导一 1 4 4 8 .( )+ ( 0< ) .

=

当x=5时，总运费最低，最低运费为

当t: 7 8 -时， s伽最小，且最小值为挈( c m 2 ) .(李开珂建供)

全国第二届奥林匹克数学研讨会议通知湖南师范大学数学奥林匹克研究所、上海大学数学系拟于 2 0 O 5年1 O月在上海主办全国第二届奥林匹克数学研讨会。会议除将邀请国内外知名的专家到会作大会报告外，还将请中学第一线的著名教练员作专题报告和经验介绍。会议从现在开始

接受报名，并开始征集讫文，尤其欢迎下列方向的论文： 1 .奥林匹克数学与中学常规数学教学的关系； 2 .全国联赛专题研究； 3 .数学解题策略； . 4 .数学竞赛命题策略； 5 .数学奥林匹克代数问题； 6 .数学奥林匹克几何问题； ‘ 7 .数学奥林匹克组合问题； . 8 .数学奥林匹克数论问题； 9 .数学奥林匹克活动的历史回顾。 大会论文将择优结集出版并从中确定大会报告论文。论文请分别寄几何方面湖南师范大学数学系 沈文选教授邮编 4 1 0 0 0 6 代数方面华东师范大学数学系 熊斌教授邮编 2 0 0 0 6 2 E - m a i l x i o n l￣@s h l 6 3 . n e t 数论方面上海市上中路上海中学冯志刚老师邮编 2 0 q 2 3 2 E - m a i l z l￣ f e n g@o n l i n e . s h . c n 组合方面深圳市福田区深圳高级中学冯跃峰老师邮编 5 1 8 0 4 0 E - m a i l f e n g y f@c n - s c h o o 1 . c 0 I n 其他方面上海市上大路上海大学数学系冷岗松教授邮编 2 O 0 4 4 4 E - m a i l l e v￣,, g s o n g@1 6 3 .咖 或者浙江大学数学系李胜宏教授邮编 3 1 0 0 2 7 凡有意参加会议的老师请自制报名表，务请写明：姓名、年龄、职称、单位、邮编、通讯地址、联系电话等，并将报名表寄至上海大学数学系冷岗松教授