第二十三届(2012年)初一“希望杯”全国数学邀请赛培训题(2)

57. 如图14，有一棱长为3的正方体，将其每个面画上黑线分成9个边长相

等的小正方形。现在沿画曲线的小正方形的四边向下打孔，使正方体被打出一个 方孔。然后将这个被打方孔的正方体浸没在一盆绿水中，于是它被染绿了。接着 沿所有的黑线将正方体切开。则仅有一面是绿色的小正方体有 个，恰 有两面是绿色的小正方体有 个。

58. 已知a=2010x+2010y，b=2011x+2011y，c=2012x+2012y，则 (a-b)2-(b-c)2。 59. 若关于x的方程2x-3a=0与3x+a-7=0的根互为相反数，则a

xy6x 4xy 6y

3，则 60. 若

x y9x 4xy 9y

61. 甲和乙依次轮流从一个包裹中拿糖果。甲取1枚，乙取2枚，然后甲取

3枚，乙取4枚，依次类推。如果谁遇到包裹中的糖果少于他这次应取的枚数时， 谁就将包裹中剩的所有糖果都取光。如果甲共取了101枚糖果，那么包裹中最初 有糖果 枚。 62. 若a+b+c=0，a3+b3+c3=0，则a23 +b23+c23

63. 为了由数321321321321得到被9整除的最大的数，必须擦去的数码是，得到的被9整除的最大的数是 。

64. 两个凸多边形，边数之比是1:3，内角和的度数之比是1:5，则这两个多 边形的边数是 。

5

65. 若(x-2)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5 a2+a4

66. 若a，b，c，d都是质数，且a2+b2+c2=78，a2-b2=cd2，则a-b+c-d= 。 67. 对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]=3，[y]=1，[z]=1， 那么[x+y-z]的值等于 。

1 1 1 x 2

68. 方程： 4 6 8 1的解x= 。

9 7 5 3

1111

69. 已知 w、x、y、z 四个数都不等于 0，也互不相等，如果w x y z

xyzw

那么w2x2y2z2

ac

70. 当ac≠0时，规定a*c= ，那么2*(5*3。

ca

71. 下表中已经填2、0、1、2四个数，每行中右边数减去左边数都相等，每 列中下边数减去上边数也都相等，那么这表中16个数的总和是 。

72. 当x=1时，ax+bx+cx-3=9，且a:b:c=1:2:3，那么3a+2b+c。

4m2m 75 n 73. 已知m，n均为正整数，且满足 39

则当m= 时，n取得最小值 。

25111723

74. 由最小的十个质数作分子和分母，组成五个分数：,,,,它们由小到大的顺序是

37131929

。

3

2

75. 如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4。以B为中心，将三

角形ABC顺时针旋转，使得点A落在边CB延长线上的A1点，此时点C落在点C1 的位置，连接AA1，CC1，相交于点O，CC1交AB于D，AA1交BC1于E，则

解答题：

76. 证明：三个相邻奇数的乘积一定能被3整除。

77. 已知P是矩形ABCD的边AB上任意一点，试过P作两条直线，将矩形分 成三个面积相等的图形。

78. 在题板上写有数12。每分钟将该数乘以或者除以2或3，并将结果写在 题板上代替原数。证明：恰经过1小时，写在题板上的数不会等于54。

79. 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=8。如图，过BC的中点D及DC

的中点E，分别作垂直于BC的线段交AC于点G及F。连接AD，AE，GB，GE，FD， FB，GD与AE、BF分别交于点I、H。在图中两个角互为余角的共有多少对?

80. 将数字1，2，5，4，6填入图中的小圆圈中。从1开始顺时针依次数

两个数字可产生5个两位数12，25，54，46和61。从1开始逆时针依次数两个 数字可产生另5个两位数16，64，45，52和21。

(1)验证：

122+252+542+462+612 =162+642+452+522+212。