2012年广州市普通高中毕业班综合测试文科数学(一)(2)

成绩在 90,100 分数段内的人数为40 0.1 4人，分别记为C，D，E，F． 7分 若从数学成绩在 40,50 与 90,100 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有： A,B ， A,C ， A,D ， A,E ， A,F ， B,C ， B,D ， B,E ， B,F ， C,D ，

2012广州市一模文科数学

C,E ， C,F ， D,E ， D,F ， E,F 共15种． 9分

如果两名学生的数学成绩都在 40,50 分数段内或都在 90,100 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 40,50 分数段内，另一个成绩在 90,100 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：

A,B ， C,D ， C,E ， C,F ， D,E ， D,F ， E,F 共7种． 11分

所以所求概率为P M

7

． 12分 15

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC AC， PD 平面PAC，PD AC，

所以PD 平面ABC． 2分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB BC， 所以BE AC．

因为AB BC AC 4，

所以

BE

4分

所以△ABC

的面积S ABC 因为PD 2，

1

AC BE ． 5分 2

11

S ABC PD 2 7分 33所以三棱锥P ABC的体积VP ABC

（2）证法1：因为PD AC，所以△PCD为直角三角形．

因为PD 2，CD 3，

所以PCP

9分

连接BD，在Rt△BDE中，

o

因为 BED

90，BE ，DE 1，

所以

BD

A

E

10分

由（1）知PD 平面ABC，又BD 平面ABC， 所以PD BD．

在Rt△PBD中，因为 PDB 90，PD

2，BD ，

所以

PB

o

12分

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在

PBC中，因为BC

PB

2

2

2

PC ，

所以BC PB PC． 13分 所以 PBC为直角三角形． 14分

o

证法2：连接BD，在Rt△BDE中，因为 BED 90，BE ，DE 1，

所以

BD

8分

P

在△BCD中，CD

3，BC

BD ，

222

所以BC BD CD，所以BC BD． 10分

由（1）知PD 平面ABC， 因为BC 平面ABC， 所以BC PD． 因为BD PD D，

A

E

所以BC 平面PBD． 12分 因为PB 平面PBD，所以BC PB．

所以 PBC为直角三角形． 14分 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列 an 是等差数列，

所以an a1 n 1 d，Sn na1

n n 1

d． 1分 2

S5 70, 5a1 10d 70,

依题意，有 2即 3分 2

a7 a2a22. a1 6d a1 d a1 21d .

解得a1 6，d 4． 5分 所以数列 an 的通项公式为an 4n 2（n N）． 6分

*

（2）证明：由（1）可得Sn 2n2 4n． 7分

所以

1111 11 2 ． 8分 Sn2n 4n2nn 24 nn 2

11111 L S1S2S3Sn 1Sn

所以Tn

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1 1 1 11 4 3 4 21 1 1

4 4 31 5 1

n4

1

n1

1 11 1

9分

1n4n 2

1 111

1 4 2n 1n 2 3 8

1 11

． 10分

4 n 1n 2

因为Tn

331 11

T ，所以． 11分 0n 884 n 1n 2

因为Tn 1 Tn 所以Tn T1

1 11

0，所以数列 Tn 是递增数列． 12分

4 n 1n 3

1

． 13分 6

13

所以 Tn ． 14分

68

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：因为f(x) x ax b，所以f (x) 3x 2ax 3x x

3

2

2

2a

． 1分 3

当a 0时，f (x) 0，函数f(x)没有单调递增区间； 2分 当a 0时，令f (x) 0，得0 x 故f(x)的单调递增区间为 0,当a 0时，令f (x) 0，得

2a． 3

2

a ； 3分 3 2a

x 0． 3

故f(x)的单调递增区间为

2

a,0 ． 4分 3

综上所述，当a 0时，函数f(x)没有单调递增区间；

当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为 0,

2 a ； 3

当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为

2

a,0 ． 5分 3

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（2）解：，由（1）知，a 3,4 时，f(x)的单调递增区间为 0,

2 2

单调递减区间为 ,0 和 a, ． a ，3 3

6分

所以函数f(x)在x 0处取得极小值f 0 b， 7分

2a

函数f(x)在x 处取得极大值

3

2a 4af b． 8分

327

3

由于对任意a 3,4 ，函数f(x)在R上都有三个零点，

f

所以

f

0 0,

b 0, 3即 10分 4a 2a 0. b 0.

27 3

4a3

b 0． 11分 解得 27

4a3 4a34 33

因为对任意a 3,4 ，b 恒成立，所以b 4． 13分

272727 max

所以实数b的取值范围是 4,0 ． 14分

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得A( 1,0)，B(1,0)． 1分

y2

设双曲线C的方程为x 2 1 b 0 ，

b

2

b 2．

1

y2

1．所以双曲线C的方程为x 3分 4

2

（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi 0，yi 0，i 1,2），直线AP的斜率为k（k 0），

则直线AP的方程为y k(x 1)， …… 此处隐藏：2104字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……