3.06 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

§3.6冲激函数和阶跃函数的傅 里叶变换 冲激函数 冲激函数 冲激偶 冲激偶 单位阶跃函数 单位阶跃函数青岛大学电子学系 2006.3

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第

一.冲激函数f ) δ((tt)

2 页

F(ω) = ∫ δ (t)e jω t dt = 1∞ ∞

F(ω)

1

(1)Ot

作 矩 脉 ， 时 ω δ (t)看 τ × 的 形 冲 τ →0 , B →∞ τ 冲激函数积分是有限值 可以用公式求。 有限值， 冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 不 满足绝对可积条件，不能用定义求。 绝对可积条件 满足绝对可积条件，不能用定义求。 f (t) 1E τ 2OEτ

O

ω

F(ω)

π 2 τ

τ 2

t

O 2 τ π

4 τ π

ω

X

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第

比较δ (t) 1δ(t)) f (t1F(ω)

3 页

(1)Ot

O1 f (t) 2 π

ω

1 δ(ω) 2 π

δ( ) F(ω)

(1)O

ω

O

t

冲激函数的傅里叶逆变换

1 +∞ 1 jωt F [δ(ω)] = ∫ ∞δ(ω)e dω = 2π 2π 1

X

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第 4 页

f (t)

E τ 2O

傅氏变换π 2 ττ2t

Eτ

F(ω)

O 2 τ π

4 τ π

ω

τ →∞f (t ) E

2π

τ

→∞

δ (ω ) F(ω)

(2π E)t

O

O

ωX

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第

二.冲激偶的傅里叶变换∫ f (t)δ′(t)dt = f ′(0)∞ ∞

5 页

F[δ′(t)] = ∫δ′(t)e j ω t dt ∞

∞

= e

[

j ω t

]

′t =0

= ( jω) = jω

X

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第

三.单位阶跃函数1 1 u(t) = + sgn(t) 2 21 2O

6 页

t

1 2 O

1 sgn(t) 2

1O

u(t)t

t 1 2

1 π δ (ω) 2

1 1 sgn(t ) 2 jω

u(t) π δ (ω) +F(ω)

1 jω

(π)O

ω

O

ω

(π)O

ωX