2012年湖州市中考数学试题及答案(2)

同住情况

a 同住 不同住 不同住 其他 5% （子女在本市） （子女在市外） 50% b

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的老人的总数及a、b的值；

（2）将条形统计图补充完整；（画在答卷相对应的图上）

（3）若该市共有老人约15万人，请估计该市与子女“同住”的老人总数．

【答案】解：（1）老人总数为25÷5%=500（人），

b=75 500 ×100%=15%，

a=1-50%－15%－5%=30%。

（2）补充条形统计图如图：

（3）该市与子女“同住”的老人的总数约为15×30%=4.5（万人）。

【考点】统计表，条形统计图，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。

【分析】（1）由统计图表中的信息可知：其他所占的比例为5%，人数为25人，所以可以求出总人数，从而求出a和b的值。

（2）由（1）的数据可将条形统计图补充完整。

（3）用该老人的总数15万人乘以与子女“同住”所占的比例30%即为估计值。

22．（2012浙江湖州10分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：四边形ABED为矩形；

（2）若AB=4，AD3 ，求CF的长．

BC4

【答案】（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。

∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。

∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。

∴四边形ABED为矩形。

（2）解：∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。

∵DC=DA，∴点C在⊙D上。

∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。 ∵

3k=k，DC=AD=3k。

由勾股定理得DE2＋EC2=DC2，即42＋k2=（3k）2，∴k2=2。

∵k＞0，∴k

CF=2EC

。

【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。

【分析】（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。

（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案。

23．（2012浙江湖州10分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．

（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？

（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？

（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？AD3 ，设AD=3k（k＞0）则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－BC4

24．（2012浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD

的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（

-

的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边

落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

【答案】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），

2 a= 1 3 a+b=0 分别代入y=ax+b，得 ，解得， 。 b 3 b 32

∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。

（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC

= ，

∴sinC BE1 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC

BC2

DE

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。

在Rt△DEF中，DE

EF=1，DF=2。

又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。

∵t＞0，∴t=1 。

此时ADDF2ADDF 2 =2，∴。 =DEEF1DEEF又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。

（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则

设EF=m，则FB=3－m。 DEEF。 FBBA

∴ ，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。 （III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。 综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

②t 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。

【分析】（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。

（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：

（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。

（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以

求得相应的t的值。

（III）∠DAF≠90°，此时t

不存在。

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