小学数学工程问题

小学数学工程问题

工程问题

问题分析

“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。联系实际，让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。充分发挥学生的主体地位，锻炼学生已有的知识解决合作问题。

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间。在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子.：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1。所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到：所需时间=工作量÷工作效率=6（天）。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可以把工作量多设份额，还是上题，10与15的最小公倍数是30，设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份，两人合作所需天数是：30÷（3+ 2）= 6（天），整数计算就方便些。或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”，甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2，当知道了两者工作效率之比。

【知识点】

工程问题是分析工作效率、工作时间和工作总量之间关系，一般是利用学过的分数知识解决问题。在工程问题中，一般没有明确给出工作总量，解题时常常把工作总量看成单位“1”。在单位时间内完成的工作量称为工作效率，工作效率一般是工作总量的几分之几。

工程问题基本数量关系式：

（1）一般公式：

工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷ 工作时间＝工作效率

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（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；一般给出工作时间，就可以知道工作效率为1, 工作时间

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。如果可以给出工作效率是

工作时间为a.

【例题讲解】

两个人的问题 1，就可以知道a

例1． 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）两队合做5天可以完成工程的几分之几？（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几？（3）两队合做几天完成？

117 ) 5 201512

113（2）1 ( ) 6 201510

11604（3）1 ( ) 8(天) 201577

73答：（1）两队合做5天可以完成工程的。（2）两队合做6天，还剩下工程的。1210

4（3）两队合做8天完成。 7解：（1）(

【解析】

此题是工作效率问题。A用20天完成，总工程是“1 ”，所以甲队的工作效率是

1 20 11，乙对的工作效率是1 15 。 2015

问题（1）要求完成的工程量，用工作效率×工作时间；

问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量； 问题（3）要求完成时间，用总工程量“ 1”÷总工效。

例2．一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

解：（1）1 ( ) 3 1

9161 6

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（2）11 1(天) 66

答：乙需要做1天可以完成全部工作。

【解析】

要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。

总工程是“1 ”，就可以知道：甲的工作效率是1 9 11，乙对的工作效率是1 6 。 96求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。

甲和乙3天的工作总量：工作效率×工作时间＝工作总量

11( ) 3， 96

剩下：

1111 ( ) 3 966

乙完成剩下的工作时间：利用工作总量÷工作效率＝工作时间 11 1(天) 66

例3．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成，如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解法一：

14 6 305

41 40 550

1 1 50（天） 50

11 1 ( ) 75（天） 3050解： 1

答：工作由甲或乙单独完成，甲需要75天，乙需要50天。

【解析】

此题是求工作时间问题，工作时间=工作总量÷工作效率。工作总量是“1”，因此就转换需要求出甲和乙完成这件工作的工作效率。 1 30

11 甲、乙6天的工作总量： 6 305甲、乙的总工作效率：

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1441 ，可以求得乙的工作效率： 40 55550

111甲的工作效率： 305075乙40天的工作总量：1 解法二：

提示：甲做24天，乙做16天。

例4. 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天可以完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

解：先对比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天

由此，可知甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），得出相同的工作量，甲的工作时间︰乙的工作时间=15︰20=3︰4。甲先单独做42天，比63天少做了：63-42=21（天），相当于乙要做28天，因此，乙还要做：28+28= 56 （天）。

答：乙还需要做 56天.

例5. 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成，现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）。问从开始到完工共用了多少天时间？

解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量，余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是：（1－1111×8－×2）÷(＋)=1（天）。 10103030

总共需要：2+8+ 1= 11（天），

答：从开始到完工共用了11天，

解二：设全部工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作：（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）

解三：甲队做1天相当于乙队做3天。在甲队单独做 8天后，还余下（甲队）10-8= 2

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（天）工作量，相当于乙队要做2×3=6（天），乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量。乙队4天的工作量由甲、队一起做，其中乙队3天工作量可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天。

例6. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？

解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

由于两队休息期间未做的工作量是

乙队休息期间未做的工作量是

乙队休息的天数是

答：乙队休息了5天半.

解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

两队休息期间未做的工作量是

（3+2）×16- 60= 20（份）.

因此乙休息天数是

（2 …… 此处隐藏：2678字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……