实用高考数学之新课程高三模拟试题3(2)

y 4x

显然 16 64k2 0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

4

则 y1 y2 ① y1 y2 16 ②………7分

k

1 1

又AM MB，所以 y1 y2 ③ …8分

22

由①② ③消去y1,y2， 得 k2 2，

故直线l

的方程为y

或y . …8分

mn（Ⅲ）设P(m,n)，则OP中点为(,)， 因为O、P两点关于直线y k(x 4)对称，

22

m8k2 n

k( 4)m km n 8k 221 k2， 所以 ，即 ，解之得

m nk 0 n k 1 n 8k

m1 k2

……10分

8k28k2

将其代入抛物线方程，得：( ，所以，k2 1. ) 4 22

1 k1 k

y k(x 4)

联立 x2y2，消去y，得：(b2 a2k2)x2 8k2a2x 16a2k2 a2b2 0. 12分

2 2 1

b a

由 ( 8k2a2)2 4(b2 a2k2)(16a2k2 a2b2) 0，得16a2k4 (b2 a2k2)(16k2 b2) 0， 即a2k2 b2 16k2， ……12分 将k2 1，b2 a2 1代入上式并化简，得

，即2aC

1分 21．（本小题满分14分）

2a2

17，所以a

1a2 2解：（Ⅰ）由已知，得 f () 0且 0， a2 a 2 0， a 0， a 2.

22aa2 21a2 a 2(a 2)(a 1)1a2 2

（Ⅱ）当0 a 2时， , 0,

2a22a2a22a12axa2 2

0， 0.又 当x 时，x

21 ax2a

1

f (x) 0，故f(x)在[, )上是增函数. 8分

2

111

（Ⅲ）a (1, 2)时，由（Ⅱ）知，f(x)在[,1]上的最大值为f(1) ln( a) 1 a，

222

于是问题等价于：对任意的a (1, 2)， 不等式ln(

121

a) 1 a m(a2 1) 0恒成立. 2

11

a) 1 a m(a2 1)，（1 a 2） 221a 1 2ma [2ma (1 2m)]， 则g (a)

1 a1 a

a

0， 当m 0时，g (a)

1 a

记g(a) ln(

g(a)在区间(1, 2)上递减，此时，g(a) g(1) 0，

由于a 1 0， m 0时不可能使g(a) 0恒成立，故必有m 0,

2

g (a)

若

2ma1

[a ( 1)]. 1 a2m

11

1})上递减， 1 1，可知g(a)在区间(1, min{2, 2m2m

在此区间上，有 g(a) g(1) 0，与g(a) 0恒成立矛盾， 故

1

1 1，这时，g (a) 0，g(a)在(1, 2)上递增，恒有g(a) g(1) 0， 2m

m 0

1

满足题设要求， 1，即m ，

4 1 1 2m

所以，实数m的取值范围为[, ). 14分 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

1

4

AB是⊙O的一条切线，∴AB AD AE． 解: （1）∵

2

AC AB,∴AC2 AD AE 又∵

AC AD AE,（2）∵

2

ACAE

, ADAC

DAC CAE, 又∵

CAD~ EAD. ∴

ACD AEC. ∴

又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形, CFG AEC. ∴

ACD CFG, ∴

FG//AC. ∴

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.

x 1 tcosx 1 6解 （1）直线l的参数方程为 ，即 ．………………5分

y 1 tsin y 1 1t 6

2 x 1 代入x2 y2 4，

（2

）把直线

y 1 1t 2

得(1

21

) (1 t)2 4,t2 1)t 2 0，t1t2 2， 2

则点P到A,B两点的距离之积为2．……………………10分

( 24 )解：（1）当a 1时，f(x) |x 1| |x 1|，由f(x) 3得：|x 1| |x 1| 3， （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为{x|x 或x }。

3

232

x 1 1 x 1 x 1

（法二）不等式可化为 或 或 ，

2x 32 3 2x 3

∴不等式的解集为{x|x 或x 。-------------5分 （2）若a 1，f(x) 2|x 1|，不满足题设条件；

2x a 1,(x a)

若a 1，f(x) 1 a,(a x 1)，

2x (a 1),(x 1)

3232

f(x)的最小值为1 a；

2x a 1,(x 1)

若a 1，f(x) a 1,(1 x a)，f(x)的最小值为a 1。

2x (a 1),(x a)

所以对于 x R，f(x) 2的充要条件是|a 1| 2，从而a的取值范围( , 1] [3, )