数理金融学第4章ROSS套利定价模型(2)

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本质上是信息的不可预测，也 就是因子的变化不可预测，这些信息既有 宏观的、也有微观的。充分分散投资组合的套利定价 假定某证券组合P由n种证券构成，各证券的组合 n x i ∑ x i = 1 权数为 i =1 nn的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两 部分。由（4-2）式，有rp = ∑ xi ri = ∑ xi [E (ri ) + β i F + ei ] =E (rp ) + β p F + e p其中 β p = ∑ xi β ii =1σ 2 (ri ) = Var [E (ri ) + β i F + ei ]i =1ni =1代表投资组合P对共同因子F的敏感度；σ 2 (rp ) = Var [E (rp ) + β p F + e p ]2 2 = β p σ F + σ 2 (e p )2 = β i2σ F + σ 2 (ei ) 由（4-3）式有e p = ∑ xi ei 为P的非系统收益率。i =1n类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们 可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起其中证券组合P的非系统风险等于：2 2 σ 2 (e p ) = ∑ xi σ (ei ) n i =1当证券组合包含的证券数越来越多(n → ∞)且各证券权重的平方 x i2 越来越小时,上式中的非 系统风险将逐渐趋于零。 得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率 构造：收益率（%） P B 10 8 o例如,投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值 一百万元的P,构造出一个零投资组合,其收益额为: [(0.10 + 1.0 × F ) (0.08 + 1.0 × F )] × 1百万=2万元 注意,投资者没有使用自己的任何本金,就获得了 2万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入,该零 投资组合的 β 值就为零，因此系统风险全部消除, 同时,由于证券组合P与B都是充分分散组合,非系统 风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何 风险,如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获 取多少收益就能得到多少,事实上,这是不可能的,即 使这种机会出现,也不会保持长久,正如前面分析的那 样,套利者的套利行为将引起市场上对P与B的供需 假设某充分分散证券组合C的 β 系数为0.5,期望收益 率为 E (rC ) =0.06,C位于由 r f r f = 0.04 与P的连接线 P 的下方, 如果以二分之一权重的P及二分之一权重的 r f 构成一新的投资组合D,那么D的β 值为:βD =1 1 1 1 β f + β P = × 0 + × 1 = 0 .5 2 2 2 2rp = E(rp ) + βpF 2 2 且 σ p = β pσ F σ p = β pσ F2，F下面再看下图，我们要问充分分散组合P与充分分散组合B能否 同时并存？ 答案不可能。因为无论共同因子处于 何种水平，证券组合P都优于证券组合B，这就是 产生了套利机会（无风险）。量发生变化,从而最终消除此二证券组合在价格 上的差异.换句话说,在市场均衡状态下,相同的证 券组合必须有 相同的期望收益率,否则无风险套 利机会就将存在. 在市场均衡状态下，具有同 β 值的充分分散证券 组合应具有相同的期望收益率 那么对于

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不同 β 值的充分分散证券组合，它们的 期望收益率与其 β 值之间存在什么关系呢？期望收益率（%）()10 7 6rfD ·CD的期望收益率等于:E (rD ) =0.5 1β这样证券组合D与C有相同的 β 值，但D的期望收益 率高于C，由前面的分析知， 无风险套利机会将存在。1 1 1 1 r f + E (rP ) = × 0.04 + × 0.10 = 0.07 2 2 2 2因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时， 所有充分分散证券组合必位于始于 r f 的同一条 直线上, 这条直线的方程为： （4-6） 其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为 风险因子的价格。 上式就是关于充分分散证券组合 它描述了在市场均衡状态下， 的套利定 价模型， 任意充分分散证券组合收益率与风险 (β ) 的关系。4.3.2 构建套利组合（Arbitrage portfolio）1. 零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要 的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资 （Self-financing）组合。 2. 无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风 险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的 敏感度为0。 3. 正收益：套利组合的期望收益大于零。用数学表示就是E (rp ) = r f + λβ p n ∑ wi = 0 （4.1） i =1 n ∑ bi wi = 0 （4.2） i =1 n ∑ wi ri > 0 （4.3） i =1D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]i =1 i =1 nnn=D(∑ wi bi f )i =1=D( f )(∑ wi bi ) 2i =1n若要D(∑ wi ri ) = 0, 则要∑ wi bi = 0i =1 i =1nn4.3.3 套利定价模型假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风 险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资 产，这样构造一个自融资组合。设无风险利率为l ，两个资产是资产i和资产，在因子 j 0 模型的假定下，套利组合的收益为（忽略残差）当 根据条件（2）， w(bi b j ) + b j = 0，即 bj w = 时,rp 无风险 bi b j严格证明命题4.1 ：假设n种资产其收益率m个因子决定 （m<n），即若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0rp = bj bi b j(ri rj ) + rj λ0 =0,ri = ri +∑bj =1mijfj其中，i=1,2,…,n ，j=1,2,…,m，则rp = w ( ri + bi f ) + (1 w )( r j + b j f ) 1 × λ 0 = [ w ( ri r j ) + r j λ 0 ] + [ w ( bi b j ) + b j ] fri λ0 rj λ0 = bi bjλ1ri = λ 0 +λ0 , λ1 ,..., λ j为常数∑bj =1mijλjri = λ0 + λ1bi证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资 且无风险的组合，即wi满足下列条件零投资∑ w =wi =1 inT1=0（4.4）如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（4.4）和（4.5）成立，则蕴含(followed)又由于非零向量1,b1,b2,…,bm线性无关，则 r 必定落在由1,b1,b2,…,bm张成的向量空间Rm+1中，

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也 就是存在一组不全为零的数 λ0 , λ1 ,..., λm使得无风险 n T ∑ wi bi1 =w b1 = 0 i =1 n T ∑ wi bi 2 =w b 2 = 0 i =1 M M n T ∑ wi bim =w b m = 0 i =1∑wr = wi =1 i inTr =0r = λ 0 1 + λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + , ..., + λ m b m证毕。 1和bj是该空间的一组基 理解： r 必须落在Rm+1空间中，才能必然成立（4.5）这等价于，只要 对于任意的W，必然有w ⊥ 1, w ⊥ b j , j = 1,..., m即，1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。w⊥rw⊥r示意图：向量空间C错误的证明adAPT的意义ri = λ 0 +自变量∑ w =wi =1nnTi1=0∑bj =1mijλj∑wbi =1 n i =1i i1=w b1 = 0T0∑ wibi 2 =wT b 2 = 0r = λ0 1 + λ1b1 + λ2b 2 +,..., +λmb m若bij＝0，则上式退化为无风险资产，则意味 m 着b在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴 含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的 二维空间上，d可以由a、b线性表示！Mn i =1Mλ0 = rf ri = rf + ∑ bij λ jj =1∑ wibim =wT b m = 0∑wr = wi =1 i inTr =0若bij≠0，则期望回报 ri 随着 bij 的增加而增 大，所以λ j 是因子 fi 的风险价格。APT的意义在单因子条件下，有ri = rf + λ1bi , i = 1,..., n对于所有风险资产则有 r r r r r r λ1 = 1 f = 2 f =,...., = n f b1 b2 bn 由此可见，APT方程的斜率λ1实际上是因子1的风险价格。rhrih l04.3.4 APT的另一种表达λ1rlAPT定价线即rp = rf + λ1，则有 λ1在单因子模型下，考虑一个使bp = 1的（资产）组合p，= rp rfλ则称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合)bh = blbi令δ = rp , 即风险价格λ1 = δ rf ,则 ri = λ0 + λ1bi = rf + (δ rf )bi结论：当所有证券关于因子的风险价格相等 时，则证券之间不存在套利。若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形 …… 此处隐藏：4882字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……