数理金融学第4章ROSS套利定价模型

方便打印的一些金融学资料

4.1 概述 数理金融学 第4章资本资产定价模型提示了在资本市场均衡 状态下证券期望收益率与风险之间的关 系，简洁、明确地回答了证券风险的合理 度量问题以及证券如何在资本市场上被定 价。 资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中 最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持。CAPM与APT建立在均值-方差分析基础上的CAPM是一种 理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意 义，因为假设条件太多、太严格！ 除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由 Stephen Ross在1976年建立的套利定价理论 （Arbitrage pricing theory，APT），从另一 个角度探讨了资产的定价问题。 市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM 无套利假定下因子模型=APTROSS套利定价模型CAPM是建立在一系列假设之上的非常理 想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假 设。这其中最关键的假设是同质性假设。 相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足，而不需要 风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前 提下提高回报率。 只要一个人套利，市场就会出现均衡！套利是指利用同一资产在不同市场上或不同资产 在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而 获取利润的行为。 无风险套利 只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两 个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨 额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同 时，两个市场上对同种证券的供需会发生变化， 当何等的上升与下降调整到使套利机会不再存在 时，套利者就会结束其套利行为。 价格同一律当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取 差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的 定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利， 因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均 衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价 格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价 格 会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某 种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行 为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的 定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达 到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平， 在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套 利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本 论点。当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处 于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理 定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关 系，这些问题正是套利定价理论所要回答的。4.2 因子模型 （Facto

方便打印的一些金融学资料

r model）定义：因子模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因子波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。 因子模型是APT的基础，其目的是找出这 些因素并确认证券收益率对这些因素变动 的敏感度。 依据因子的数量，可以分为单因子模型和 多因子模型。 引子4.2.1 单因子模型若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的 宏观经济指数。 假设：（1）证券的回报率仅仅取决于该指数 的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风 险——残余风险 则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证 券回报率为因变量的单因子模型。 例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的 主要因素。例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关因子模型回归年份 1 2 3 4 5 6 IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9 股票A收益率（%） 14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0rit = ai + bim rmt + eit其中 =在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数 ai =截距项 bim =证券i对因素m的敏感度 eit =随机误差项，rtr6 = 13.0% e6 = 3.2%rit rmtE[eit ] = 0, cov(ε it , rmt ) = 0, cov(ε it , ε jt ) = 04%I GDP6 = 2.9%I GDPt图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示 股票A的回报率。图上的每一点表示：在给 定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。 通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）从这个例子可以看出，A在任何一期的回 报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分a通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列rit = ai + bi f t + eit其中：（8.1）2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相 同的部分b×IGDPt 3.属于特定一期的特殊部分et。rt = 4 % + 2 I G D P t + e tft是t时期公共因子的预测值； rit在时期t证券i的回报； eit在时期t证券i的特有回报 ai零因子 bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因 子载荷（factor loading）为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（8.1）式变 为假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有 影响，即因子f与随机项是独立的，这样保 证了因子f是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为ri = ai + bi f其回报率的方差因子风险2 σ i2 = bi 2σ 2 + σ ei f（8.3）ri = ai + bi f + ei并且假设（8.2）(1) cov(ei , f ) = 0 E [ei ] = 0(2) cov(ei , e j ) = 0假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证 券的随机项没有影响，换言之，两种证券 之所以相关，是由于它们具有共同因子f所 致。 如果上述假设不成立，则单因子模型不准

方便打印的一些金融学资料

确，应该考虑增加因子或者其他措施。非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi f + ei , a j + b j f + e j )= bi b jσ 2 f单因子模型的优点1. 单因子模型能够大大简化我们在均值-方差 分析中的估计量和计算量。假定分析人员需 要分析n种股票，则均值－方差模型：n个期望收益，n个方差， (n2-n)/2个协方差 单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残 2 差 σ ei ，一个因子f方差 σ 2 ，共3n＋1个估计值。 f 若n＝50，前者为1325，后者为151。单因子模型具有两个重要的性质2. 风险的分散化分散化导致因子风险的平均化 分散化缩小非因子风险假设残差有界，即2 σ ei ≤ s 2且组合p高度分散化，即wi充分小，则对于 资产i成立wi ≤ ε / n1 n2limσ p2 = lim D(∑wi (ai + bi f + ei ))n→∞ n→∞ i=1n则有 从而σ ep 2 ≤∑εi =1n2 2= limbp2σ f 2 +σep2n→∞2 2 其中，bp = ∑ wi bi，σ ep = ∑ wi2σ ei i =1 i =1 n n1 s = ε 2s2 nlimσ p2 = limbp2σ f 2 +σep2 = bp2σ f 2n→∞ n→∞4.2.2 多因子模型单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个 因子相关，这些因子如利率变化，GDP增 长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。两因子模型若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值ri = ai + bi1 f1 + bi 2 f 2其回报率的方差1 2证券i对因子1的敏感度ri = ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei其 中 ， E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , e j ) = 02 σ i2 = bi2σ 2 + bi22σ 2 + 2bi1bi 2 cov( f1 , f 2 ) + σ ei 1 f f对于证券i和j，其协方差为单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f fcov(ei , f1 ) = 0, cov(ei …… 此处隐藏：4106字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……