2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(73)-教师用卷(2)

本题要善于将实际问题转化为数学模型“修桥问题”，结合图形进行计算．

三、解答题（本大题共4小题，共64.0分）

12. 请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，

并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．

【答案】解：如图，在AD 边上任取一点N ，使点N 不是边AD 的中点．分别作出线段AN 、DN 的中点O 1、O 2，只要把正方形ABCD 沿BO 1、CO 2剪两刀，则得到的三块图形

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就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形．

答案不唯一：

【解析】由题意知，只要剪两刀后，剪下的两个直角三角形中有一边与另一个三角形的一边的和能与余下的正方形的部分重合，或才能与原正方形的一边重合的都能符合要求．本题的答案不唯一，可以拓展学生的空间想象能力，又可以培养动手能力．

13.甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度v1

与v2(v1>v2)，甲前一半的路程使用速度v1、后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v2、后一半的时间使用速度v1．

(1)甲、乙两人从A地到达B地的平均速度各是多少(用v1和v2表示)

(2)甲、乙两人谁先到达B地，为什么？

(3)如图是甲从A地到达B地的路程s与时间t的函数图象，请你在图中画出相应的

乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象．

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【答案】解：V甲(1)设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．

v 甲=s1

2s

v

1

+

1

2s

v2

=2v1v2

v1+v2，(3分)

v

乙

=

v1a

2

+v2a

2

a

=v1+v2

2

.(3分)

(2)v

乙

?v

甲

=

(v1?v2)2

2(v1+v2)

∵0<v2<v1，

∴v

乙

?v

甲

>0，乙先到B地．(4分)

(3)如图(6分)

(只要两对平行线及三点共线即可得分)

【解析】(1)设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．

先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V甲；

先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V乙；

(2)看甲、乙两人谁先到达B地，因为路程一定，比较V甲，V乙的大小即可；

(3)乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象，乙的时间短，前一半的时间的图象与甲

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第8页，共9页 后一半的路程的图象平行，后一半的时间的图象与甲前一半的路程的图象平行． 本题重点考查了实际应用和一次函数图象相结合的问题，是一道难度中等的题目．

14. 已知，如图，矩形ABCD 中，AD =6，DC =7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H

分别在矩形ABCD 的边AB ，CD 上，AH =2，连接CF ．

(1)当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长；

(2)当△FCG 的面积为1时，求DG 的长；

(3)当△FCG 的面积最小时，求DG 的长．

【答案】解：(1)∵四边形EFGH 为正方形，

∴HG =HE ，

∵∠DHG +∠AHE =90°，

∠DHG +∠DGH =90°，

∴∠DGH =∠AHE ，

∴△AHE≌△DGH(AAS)

∴DG =AH =2

(2)作FM ⊥DC ，M 为垂足，连接GE ，

∵AB//CD ，∴∠AEG =∠MGE

∵HE//GF ，∴∠HEG =∠FGE ，

∴∠AEH =∠MGF ．

在△AHE 和△MFG 中，∠A =∠M =90°，HE =FG ，∴△AHE≌△MFG ．

∴FM =HA =2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2． 因此S △FCG =1

2×2×GC =1，解得GC =1，DG =6．

(3)设DG =x ，则由第(2)小题得，S △FCG =7?x ，又在△AHE 中，AE ≤AB =7， ∴HE 2≤53，∴x 2+16≤53，x ≤√37，

∴S △FCG 的最小值为7?√37，此时DG =√37．

【解析】(1)当四边形EFGH 为正方形时，则易证AHE ≌△DGH ，则DG =AH =2

(2)作FM ⊥DC ，M 为垂足，连接GE ，可以证明△AHE≌△MFG ，则FM =HA =2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2.根据△FCG 的面积为1，就可以解出GC ，DG 的长．

(3)先求出DG 的取值范围，S △FCG 的面积可以表示成x 的函数，根据函数的性质，就可以求出最值．

求最值的问题一般是转化为函数问题，根据函数的性质

求解．

15. 设点O(0,0)、点A(2,0)，分别以O 、A 为圆心，半径

为2r 、r 作圆，两圆在第一象限的交点为P ．

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第9页，共9页 (1)当r =1时，求点P 的坐标；

(2)当23<r <2时，能否找到一定点Q ，使PQ 为定值？若能找到，请求出Q 点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由．

【答案】解：(1)设P(x,y)，

由勾股定理，得{x 2+y 2=22

(2?x)2+y 2=12

解得{x =74y =√154

(舍去负值) ∴P(74,√154)；

(2)设P(x,y)，

由题意，得x 2+y 2=4[(x ?2)2+y 2]

化简，得x 2+y 2?

163x +163=0 即(x ?83)2+y 2=

169 ∴定点为(83,0)，定值为43．

【解析】(1)过P 点作x 轴的垂线，把△OPA 分割成两个直角三角形，设P(x,y)，在两个三角形中使用勾股定理，列方程组，解答本题；

(2)根据勾股定理，列方程求解．

考查了运用勾股定理解二元二次方程组(二元二次方程)、圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．