2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(73)-教师用卷

浙江省三位一体自主招生综合测试试卷

2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（73）

一、选择题（本大题共5小题，共30.0分）

1.关于x的方程x2+|x|?a2=0的所有实数根之和等于()

A. ?1

B. 1

C. 0

D. ?a2

【答案】C

【解析】解：方程x2+|x|?a2=0的解可以看成函数y=x与函数y=?x2+a2的图象的交点的横坐标，

根据对称性可知：所有实数根之和等于0．

故选：C．

利用图象法解决问题即可．

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

2.抛物线y=x2上有三点P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，则△P1P2P3的

面积为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】解：分别从点P1、P2、P3向x轴作垂线，因为P1、

P2、P3，

其横坐标分别为t，t+1，t+3，而三点在抛物线y=x2

上，

所以三点纵坐标分别是：t2，(t+1)2，(t+3)2，

则S△P1P2P3=1

2×3×[t2+(t+3)2]?1

2

×[(t+1)2+

t2)]?1

2

×2×[(t+1)2+(t+3)2]=3．

故选：C．

分别从点P1、P2、P3向x轴作垂线构造梯形，利用面积差求解．则△P1P2P3的面积为：

1 2×3[t2+(t+3)2]?1

2

[(t+1)2+t2]?1

2

×2[(t+1)2+t2]=3．

主要考查了梯形的面积公式的运用和一次函数图象上点的坐标特征，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理和面积公式求解．

3.已知a、b、c为自然数，且a2+b2+c2+42<4a+4b+12c，且a2?a?2>0，

则代数式1

a +1

b

+1

c

的值为()

A. 1

B. 7

6

C. 10

D. 11【答案】A

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【解析】解：由a2?a?2>0，a为自然数，可知a>2，

将化a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为(a?2)2+(b?2)2+(c?6)2<2，因为(a?2)2、(b?2)2、(c?6)2都大于0，

当a≥4时，上式不成立，所以自然数a只能取值为3．

当a=3时，代入上式，得：

(b?2)2+(c?6)2<1，

所以只能使(b?2)2=0，(c?6)2=0，即b=2，c=6，

所以1

a +1

b

+1

c

=1．

故选：A．

先由a2?a?2>0得到a>2或a<?1，再变形a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为：(a?2)2+(b?2)2+(c?6)2<2，得到a=3，进而得到(b?2)2+(c?6)2<1，再

得到b=2，c=6，故能求得1

a +1

b

+1

c

的值．

本题的关键是把不等式转化成平方的形式，然后分析在什么情况下小于2，从而求出a，b，c的值．

4.正五边形广场ABCDE的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A，C两点

处同时出发，沿A?B?C?D?E?A的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时()

A. 甲在顶点A处

B. 甲在顶点B处

C. 甲在顶点C处

D. 甲在顶点D处【答案】D

【解析】解：①二人在1条边上，二人地距离差小于或等于80米．

②甲在A点，乙在C点，二人的距离差是160米，甲要追回80米需要的时间是80比(50?46)是20分钟．

③20分钟甲走了1000米，正好走到CD的中点设为F；20分钟乙走920米走到DE距D点40米处设为G．

④甲从F走到D是40比50等于0.8分钟；乙用0.8分从G点走出0.8乘46等于36.8米距E点80?36.8?40=3.2米．

⑤由此得知甲走到D点时乙走在DE线上距E3.2米处．

故选：D．

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系求解．

本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

5.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在抛物线y=ax2+2ax+4(0<a<3)上，若x1<x2，

x1+x2=1?a，则()

A. y1>y2

B. y1<y2

C. y1=y2

D. y1与y2大小不能确定

【答案】B

【解析】解：将点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中，得：y1=ax12+2ax1+4----①，

y2=ax22+2ax2+4----②，

②?①得：

y2?y1=(x2?x1)[a(3?a)]，

因为x1<x2，3?a>0，

则y2?y1>0，

即y1<y2．

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故选B．

将点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中得y1=ax12+2ax1+ 4----①；y2=ax22+2ax2+4----②；利用作差法求出y2?y1>0，即可得到y1>y2．本题难度较大，要充分利用数据特点，进行计算．

二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）

6.如图，E、F分别是?ABCD的边AB、CD上的点，AF

与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=

10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为______．

【答案】30cm2

【解析】解：连接E、F两点，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，

∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ，

同理：S△EFD=S△ADF，∴S△EFP=S△ADP，

∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，

=30cm2，

∴S

四边形EPFQ

故阴影部分的面积为30cm2．

连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．

7.如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，

回形线与射线OA交于A1、A2、A3、….若从O点到A1点

的回形线为第一圈(长为7)，从A1点到A2点的回形线为

第二圈，…，以此类推，则第11圈的长为______．

【答案】87

【解析】解：观察图形发现：

第一圈的长是2(1+2)+1=7；

第二圈的长是2(3+4)+1=15；

第三圈的长是2(5+6)+1=23；

则第n圈的长是2(2n?1+2n)+1=8n?1．

所以，当n=11时，原式=88?1=87．

故答案为87．

根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．

此题主要考查图形变化的规律，结合图形发现：图形的周长正好能转化为长方形的周长再加1.重点分析对应长方形的周长：第n个长方形的长是对应的偶数，宽是对应的奇数．8.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的自然数，从中任意抽出两张卡

片，则两张卡片中的数字之和为偶数的概率为______．

【答案】2

5

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【解析】解：共有6×5=30种可能，两张卡片中的数字之和为偶数的有12种，所以概率是2

5

．

依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．

用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9.如图，AB 为⊙O的直径，D为AB上一点，且AB=5AD，

CD⊥AB，垂足为D，C在圆上，设∠COD=α，则

sinα

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