初二数学第六讲一元二次方程与解法(一)(教案)

教学过程

一、复习预习

学生活动：列方程

问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，

问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，根据题意，得________． 整理、化简，得：__________．

问题（2）如图，如果

ACCB

，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． ABAC

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

二、知识讲解

1．一元二次方程的概念：

方程的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2 bx c 0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

2

一个一元二次方程经过整理化成ax bx c 0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是

二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

一元二次方程的四个特点：(1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它

2

进行整理。如果能整理为ax bx c 0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程；

2

（4）将方程化为一般形式：ax bx c 0时，应满足（a≠0）.

2. 一元二次方程的根：

为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

3.直接开方法解一元二次方程： 适用于x a a 0 形式的一元二次方程的求解。这

2

里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：经过变形可以转化为x a a 0 形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。

2

4.配方法解一元二次方程：

配方法的理论根据是完全平方公式a 2ab b (a b)，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x 2bx b (x b)。

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边； (2)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

2

(3)变形为(x m) n的形式，当 n 0时，x m n，x m

222

222

n ，

当n＜0时，方程没有实数根

考点/易错点1

在一元二次方程化成一般形式后，要注意二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 考点/易错点2

判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a 0. 考点/易错点3

用直接开平方的方法时要记得取正、负. 考点/易错点4

用配方法解一元二次方程时，一定要使二次项系数为1后，再配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）。

三、例题精析

【例题1】

【题干】在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项。

22

（1）2x 1 x （2） x 5x 0 22

（3）3x 12 （4） x(x 4) x 1

【答案】（1）、（2）、（3）都是一元二次方程。

（1）的其二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-1. （2）的其二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是0. （3）的其二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是-12.

【解析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数都是2的整式方程）去判断，在确定一元二次方程每一项时，一定要先把方程化为一般形式

ax2 bx c 0，再去判断。

【例题2】

【题干】已知关于x的方程 m 2 xm【答案】-2

【解析】因为方程为一元二次方程，所以m2 2 2，解得m 2。而当m 2时，二次2

2

x m 0,当m为何值时方程为一元二次方程。

项系数为0，所以m应取-2. 【例题3】

【题干】用直接开方法解方程 (x 5)2 492

x 4x 4 49

【答案】x1 12,x2 2；x1 5,x2 9

【解析】解：原方程可化为 解：(x 2)2

7

x 5 7，或x 5 7 ∴ x-2 7，或x-2 7 ∴ x1 12,x2 2 ∴ x1 5,x2 9

【例题4】

【题干】用配方法解方程 x2

2x

34

【答案】x1

12,x32 2

【解析】解：x2

2x 1

3

4

1 ∴ (x 1)2

14

∴ x 1 11

2

，或x 1 2

∴ x 13

12,x2

2

【变式练习1】

【题干】配方法解方程x2 10x 11 0 【答案】：x1 11,x2 1

【解析】解：移项，得 x2 10x 11 方程两边都加上( 5)2

得

x2 10x ( 5)2 11 ( 5)2 即， (x 5)2 36 两边开平方，得

x 5 6，或x 5 6

所以 ， x 11，x 1

【变式练习2】

【题干】用配方法解一元二次方程：3x 6x 1 0 【答案】解：配方，得3 x 1 2, 即 x 1

2

2

2

2. 3

x 1

x1 1x2 1 【解析】 二次项系数不为1时，用配方法解一元二次方程，先用提公因式的方法把二次项系数化为1，然后再用直接开平方法求解。 【例题5】

【题干】 把方程x2 6x 6 0化为(x m) n的形式

2

【答案】：(x 3) 3

2

【解析】x2 6x 6 x 6x 9 3

2

(x 3) 3

2

【例题6】

【题干】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【答案】证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【解析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可． 【变式练习】 【题干】方程(m－1)xm

2＋1

＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.

【答案】由题意可得，m2＋1＝2，且m－1≠0，∴m＝±1且m≠1，∴m的值是－1． 【解析】一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 【例题7】

【题干】你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1） …… 此处隐藏：2407字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……