第15讲 函数的综合应用

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第15讲 函数的综合应用

《前置练习》

k

1．若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可以是( )

xA．－2 B．－1 C．1 D．2

k2．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝A(－1,2)，B(1，－2)

x两点，若y1<y2，则x的取值范围是( )

A．x<－1或x>1 B．x<－1或0<x<1 C．－1<x<0或0<x<1 D．－1<x<0或x>1

a

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则反比例函数y＝x y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是( )

211

4．设函数y＝xy＝x－1的图象的交点坐标为 (a，b)，则a－b的值为 . k5．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝x＞0)的图象交于A，B两点，与y

x轴交于C点，已知 A点坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．

(1)求函数y1的解析式和B点坐标；

(2)观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．

《考点知识梳理》

考点一 一次函数与方程 (组)、不等式

1． 解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 时，求相应的自变量的值． 从图象上看，kx＋b＝0的解就是直线y＝kx＋b与x轴交点的 坐标．

2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求 值范围．

3．每个二元一次方程组都对应两个一次函数，方程组的解就是这两条直线交点的 .

温馨提示 求两个一次函数图象的交点坐标，就是解这两个一次函数对应的方程所组成的方程组的解. 考点二 二次函数与一元二次方程

1．直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解及比较大小等问题． 2．直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程的解及比较大小等问题． 3．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题．

4．利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题．

5．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性． 6．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合．

7．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数．

《典例解析》

考点一 在同一坐标系中确定多个函数的图象

例1 (2013·张家界)若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象在同一坐标系中大致是( )

考点二 利用函数图象解方程(组)或不等式

例2 (2013·黔西南)如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x＜ax＋4的解集为( )

3

A．x＜ B．x＜3

23

C．x＞．x＞3

2

考点三 一次函数与反比例函数的综合应用

例3 (2013·聊城)如图，一次函数的图象与x轴、 y轴分别相交于A，B两点，8

且与反比例函数yx的图象在第二象限交于点C. 如果点A的坐标为(2,0)， 点B是AC的中点．

(1)求点C的坐标； (2)求一次函数的解析式．

考点四 函数知识的综合应用

例4 (2013·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0，－1)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C， 使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点 C的坐标以及此时圆的圆心P的坐标；

(3)在(2)的基础上，设直线x＝t(0<t<10)与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大？并求出最大值．

《达标训练》

一、选择题(每小题4分，共40分)

b

1．已知反比例函数y＝xb为常数，且b≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第______象限．( )

A．一 B．二 C．三 D．四

2．(2013·聊城)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )

A B C D

3．等腰三角形的周长为4，当底边长y是腰长x的函数时，此函数的图象是( )

4．(2013·呼和浩特)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )

A B C D

2

5．如图所示，函数y1＝x－1和函数y2＝xM(2，m)，N(－1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是( )

A．x＜－1或0＜x＜2 B．x＜－1或x＞2

C．－1＜x＜0或0＜x＜2 D．－1＜x＜0或x＞2

6．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲y＝

1

上，点N在直线y＝x＋32x

上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x( )

99

A B．有最大值，最大值为2299

C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为－

227．(2013·德州)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示， 有以下结论：①b2－4c>0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0； ④当1<x<3时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

8．烟花厂为扬州“4·18烟花三月经贸旅游节”特别设计制作了一种新型礼炮，这种5

礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升

2空后到最高点处才引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )

A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s

k11

9．(2013·南宁)如图，直线y＝x与双曲线y＝xk>0，x>0)交于点A，将直线y＝x

22k

向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝x(k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k的值为( )

99

A．3 B．6 C. D.

42

(第9题) (第10题) (第11题)

k

10．(2013·重庆)一次函数y＝ax＋b(a>0)、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝x在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(－2,0)，则下列结论中，正确的是( )

A．b＝2a＋k B．a＝b＋k C．a>b>0 D．a>k>0 二、填空题(每小题4分，共12分)

11．(2013·三明)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(3,2)

，与反比例函数

2

y＝xx＞0)的图象交于点Q(m，n)．当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m的取值范围是 .

6

12．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝x的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 .

4

13．如图，已知动点A在函数y＝xx>0)的图象上， AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D， 使AD＝AB，延长BA至点E，使AE＝AC.直线DE分 别交x轴、y轴于点P，Q.当QE∶DP＝4∶9时， 图中阴影部分的面积等于 . 三、解答题(共48分)

m

14．(10分)如图，一次函数y＝kx－3的图象与反比例函数y＝xx>0)的图象交于点P(1,2)．

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