初中几何辅助线大全(3)

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

梯形的辅助线

口诀：

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

（一）、平移

1、平移一腰：

例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E. 又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.

A

B

D

C

所以DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64. 所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8.

D

C

A

E

B

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

解：过点B作BM//AD交CD于点M，在△BCM中，BM=AD=4， CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5， 所以BC的取值范围是： 5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。 2、平移两腰：

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得 ∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

11

所以EF GH (BC BG CH)

22

11

(BC AE DE) [BC (AE DE)]2211

(BC AD) (3 1) 122

3、平移对角线：

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点． ∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形 ∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 ∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 ∴∠BDE=90°．

BD ED12

作DH⊥BC于H，则DH BE5

B

H

C

E

S梯形ABCD

(AD BC) DH

2

5

12

5 6． 2

例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=52，求证：AC⊥BD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E， 易得四边形BCED是平行四边形， 则DE=BC，CE=BD=52，

所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。 在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52，

22222AC CE (52) (52) 100 AE所以在△ACE中，，

从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E， 则四边形ACED是平行四边形， 即S ABD S ACD S DCE。 所以

S梯形ABCD S DBE

AC2 DH2

22

由勾股定理得EH DE DH

2 122 9（cm）

BH BD2 DH2 202 122 16（cm）

所以

2

S DBE

11

BE DH (9 16) 12 150(cm2)22，即梯形ABCD的面积是

150cm。

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。 在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。 所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2