初中几何辅助线大全

三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2） DG＋GE＞DE（同上） （3） 由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

AE

C

B

图1 2

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。 证法二：连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。

AF图2 1

C

B

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某

三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。

证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC， 在△DBE和△DNE中：

A DN DB(辅助线的作法)∵ 1 2(已知) ED ED(公共边)

∴△DBE≌△DNE （SAS）

∴BE＝NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF。

EB

D图3 1

C

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。在△BDE和△CDM中，

A

BD CD(中点的定义)∵ 1 CDM(对顶角相等) ED MD(辅助线的作法)

∴△BDE≌△CDM （SAS）

EF

B

D

C

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90° ∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF和△MDF中

图4 1

M

ED MD(辅助线的作法)

∵ EDF FDM(已证)

DF DF(公共边)

∴△EDF≌△MDF （SAS）

∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。

E

F

五、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。 证明：（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中

B

CD

图5 2

AN AC(辅助线的作法)∵ 1 2(已知) AP AP(公共边)

∴△APN≌△APC （SAS）

∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）

N

PD图6 1

C

B

M

∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC

六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。

求证：BD＝2CE

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

A

E

图9 1

1 2(已知)

∵ BE BE(公共边)

BEF BEC(已证)

∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=

1

CF （全等三角形对应边相等） 2

∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

BAC CAF(已证)

BDA BFC(已证)

AB＝AC(已知)

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE

例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=

1

（AB-AC） 2

巧求三角形中线段的比值

例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD

解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC

因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2，

因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD

所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝

所以EF：FD＝

例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。

解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB

因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4

即DF：BG＝3：4，

因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3

所以AF：BG＝2：3 即

所以AF：DF＝

初中几何常见辅助线口诀

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

由角平分线想到的辅助线