初中几何辅助线大全(2)

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

B

NC

图1 1

在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1） 在△BDM中，MB+MD>BD；（2） 在△CEN中，CN+NE>CE；（3） 由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）

延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）

GF+FC>GE+CE（同上）（2） DG+GE>DE（同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

B

A

E

C

B

图1 2

A

F

图2 1

C

角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。

因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的 外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

A例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。

BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

BE

D图3 1

C

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC， 在△DBE和△NDE中： DN=DB（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边） ∴△DBE≌△NDE（SAS）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、 截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠

1=∠2，P为AD上任一点

求证：AB-AC>PB-PC。

要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为

欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，

即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）

在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边） ∴BP-PC<AB-AC 证明：（补短法）

延长AC至M，使AM=AB，连接PM，

N

D图6 1

C

在△ABP和△AMP中

B

M

AB=AM（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边） ∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。

四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，

因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。 ∴ΔCDF的面积为。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴

ME

CD，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是ΔABD的中位线， ∴

MF

AB，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。 解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。 在ΔACD和ΔEBD中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，

∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE， 从而BE=AC=3。

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD=

=

=

，故BC=2BD=2

。

AD又

例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

证明：延长AD到E，使DE=AD。 仿例3可证： ΔBED≌ΔCAD， 故EB=AC，∠E=∠2， 又∠1=∠2， ∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。 证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。

∵AB//DC，

∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2， ∴∠1=∠2，

在ΔADE和ΔBCE中， ∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于 …… 此处隐藏：3012字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……