高三理科数学小题狂做14(2)

（2）设点A 的极坐标为(2,)3π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知33

0,0,2a b a b >>+=，证明：

（1）33()()4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤．

参考答案

1．D

2．C

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，

3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-=

=-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

2211π310π3663π22=-=??-???=V V V 总上

5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得2

343C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．

9．A 【解析】取渐近线b y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，

= 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02?? ??

?，）

可知112MN AB =

，1122

NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．

1=PQ ，12

MQ AC = ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??=+-???-= ???

，=AC

则MQ =

MQP △

中，MP = 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=??

222

+-== 又异面线所成角为π02?? ???，

．

11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'??=+++-???，

则()()32422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<，

则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()2PA PB PC PD PA ?+=?， 要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值，

又323PA PD AD +==?=， 则223324PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤， 则min 332242

PD PA ?=-?

=-． 解析法： 建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， P D C B A

∴()03A ，，()10B -，，()10C ，．

设()P x y ，，

()3PA x y =--，，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

223324x y ??????=+-- ? ??????? 则其最小值为33242???-=- ???

，此时0x =，3y =． 13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ????=+-∈ ????

???， ()231cos 3cos 4

f x x x =-+- 令cos x t =且[]01t ∈，

2134

y t t =-++ 2

31t ??=--+ ? ??? 则当3t =

时，()f x 取最大值1． 15．2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+=

414610S a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=

()()112222122311n k k S n n n n ==++++??-+∑ 111111121223

11n n n n ??=-+-++-+- ?-+?? 122111n n n ??=-= ?++??

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线，

∵2CN =，4AF =，

∴3ME =

又由定义ME MF =，

且MN NF =，

∴6

NF NM MF =+= 17.

【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin 84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=，

∴2216(1cos )cos 1B B -+=，

∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，

∴15cos 17

B =， （2）由⑴可知8sin 17B =

． ∵2ABC S =△，

∴1sin 22

ac B ?=， ∴182217

ac ?=， ∴172

ac =， ∵15cos 17B =， l F N M C B A O y x

∴22215217a c b ac +-=， ∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．

18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

0.62=

()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?

0.66=

()()()0.4092P A P B P C ==

（2）

由计算可得2K 的观测值为

()

2

22006266383415.70510010096104k ??-?==???

∵15.705 6.635>

∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=，8

5 2.3517?≈

50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】 z

y

x

M 'M

O F P

A

B C D E

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12

EF AD ∥． 又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥．

又∵12AB BC AD ==，∴12

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，

，，(010)D ，，， (00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?， ∴MBM '△

为等腰直角三角形．

∵POC △为直角三角形，OC =

，∴60PCO ∠=?．

设MM a '=，

CM '=

，

1OM '=．∴100M ??' ? ???，

，．

BM a a '==?

=

．∴11OM

'==． ∴100M ??'

? ??

?，，10M ? ??

2611AM ??=- ? ???，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，， (001)n =，，．

∴10cos ,m n

m n m n ?<>==?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?， ∴1

2M x y ?? ???

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