2009年四川省成都中考数学试卷与答案(3)

（3）①先求上移的单位，可先设出平移后的二次函数的解析式，然后联立抛物线和直线NQ即MC的解析式，然后可得出一个一元二次方程，要想使两函数有交点，那么△≥0，以此可求出平移单位的取值范围，也就可求出最大的平移值．

②要求向下平移的最大单位，可求出当Q，N正好在抛物线上时，b的取值，那么根据MC的直线解析式，可得出Q，N点的坐标，那么当Q，N正好在抛物线上时，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大单位． 解答：解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx﹣3． ∴点C（0，﹣3） ∴cos∠BCO=

=

∴可设|OC|=3t（t＞0），|BC|=则由勾股定理，得|OB|=t 而|OC|=3t=3，

t

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∴t=1

∴|OB|=1， ∴点B（1，0）

∵点B（1，0）C（0，﹣3）在抛物线上 ∴

，

解得，

2

2

∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）﹣4=x+2x﹣3．

（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形， ①若PN为另一条直角边

∵点M（﹣1，﹣4）在直线MC上， ∴﹣4=﹣k﹣3，即k=1

∴直线MC的函数表达式为y=x﹣3

易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0） ∵|OC|=|ON| ∴∠CNO=45°

∴在y轴上取点D（0，3）， 连接ND交抛物线于点P ∵|ON|=|OD| ∴∠DNO=45°

设直线ND的函数表达式为y=mx+n 由

得

∴直线ND的函数表达式为y=﹣x+3 设点P（x，﹣x+3），代入抛物线的函数表达式，

2

得﹣x+3=x+2x﹣3，

2

即x+3x﹣6=0 解得x1=

，x2=

∴y1=，y2=

∴满足条件的点为P1（

，

），p2（

，）．

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②若PC是另外一条直角边

∵点A是抛物线与x轴的另一交点， ∴点A的坐标为（﹣3，0） 连接AC，∵|OA|=|OC|， ∴∠OCA=45°，又∠OCN=45° ∴∠ACN=90°，

∴点A就是所求的点p3（﹣3，0）

综上所述，在抛物线上存在满足条件的点，有3个， 分别为：P1（

（3）若抛物线沿其对称轴向上平移，

2

设向上平移b（b＞0）个单位可设函数表达式为y=x+2x﹣3+b 由

2

，

），p2（

，

），p3（﹣3，0）．

，

得x+x+b=0．

∴要使抛物线与线段NQ总有交点， 必须△=1﹣4b≥0，即b≤，

∴0＜b≤

∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度．

②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b＞0）个单位

2

可设函数表达式为y=x+2x﹣3﹣b

∵当x=﹣3时，y=﹣b，当x=3时，y=12﹣b 易求得Q（﹣3，﹣6），又N（3，0） ∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须 ﹣b≥﹣6或12﹣b≥0，即b≤6或b≤12 ∴0＜b≤12

∴若抛物线沿其对称轴向下平移，最多可平移12个单位长度

综上可知，若抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点， 则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．

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点评：本题的关键是在于根据已知条件确定二次函数的解析式以及二次函数平移后解析式的变化情况， 要注意的是（2）中要分另一条直角边的不同进行分类讨论，不要漏解． 23、（2009 成都）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG． （1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE=BF； （3）若OG DE=

，求⊙O的面积．

考点：圆周角定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题。 分析：（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；

（2）先证明△ACE与△BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解． 解答：解：（1）猜想：OG⊥CD． 证明：如图，连接OC、OD， ∵OC=OD，G是CD的中点，

∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

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而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）， 在Rt△ACE和Rt△BCF中，

∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF， ∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）． ∴AE=BF．

（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点． ∴OH=AD，即AD=2OH，

又∠CAD=∠BAD CD=BD，∴OH=OG． 在Rt△BDE和Rt△ADB中， ∵∠DBE=∠DAC=∠BAD， ∴Rt△BDE∽Rt△ADB， ∴

，即BD=AD DE．

2

∴

又BD=FD，∴BF=2BD， ∴

①，

．

设AC=x，则BC=x，AB=，

∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠FAD=∠BAD．

在Rt△ABD和Rt△AFD中，

∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．

∴AF=AB=，BD=FD．

∴CF=AF﹣AC=

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

．

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②，

由①、②，得，

∴x=12、解得

2

或（舍去），

∴，

∴⊙O的半径长为．

∴

∴S⊙O=π （）．

2

点评：熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质． 24、（2009 成都）有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字：1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值． （1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况； （2）分别求出当S=0和S＜2时的概率． 考点：列表法与树状图法。

分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 解答：解：（1）画树状图

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（2）由图（或表）可知，所有可能出现的结果有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种，2分 ∴P（S=0）=

=，2分

P（S＜2）=． 2分

点评：树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25、（2009 成都）解不等式组

并在所给的数轴上表示出其解集．

考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。 专题：计算题。

分析：本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 解答：解：解不等式3x﹣1＜2（x+1），得x＜3 解不等式

≥1，得x≥﹣1

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3． 在数轴上表示解集如图：

点评：本题重点考查一元一次不等式组的解法，解一元一次不等式组时，确定不等式组的解集的规律是：大大取较大，小小取较小，大大小小是空集，大小小大中间找，本题较简单． 26、（2009 成都）解答下列各题： （1）计算：

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