基于多数据窗的谱估计算法研究及仿真(2)

2 相关技术介绍

系统设计中使用不同的算法，其中经典谱估计中包含周期图法，Welch法，多窗谱估计算法和多正弦窗谱估计算法，以及Matlab及GUI编程中对Matlab的简介和功能的介绍，并且对GUI用户界面的介绍。

2.1 经典功率谱估计的相关技术

2.1.1 周期图法

Schuster于1899年首先提出了周期图这一概念，因为它是直接由傅里叶变换得到的，又称之为直接法。周期图是将信号观测的有限个样本x(n)={x(0)，x(1)，…，x(N-1)}直接进行FFT变换用于功率谱估计的一种方法，实平稳随机信号x(n)的N点周期图可用式（1）计算

IN(k) IN( )2 kN 12X(k) （1） N

式中：N为数据观测的长度；X（k

x(n)的离散傅里

叶变换，可用FFT= IN(w)。该算法的方差在随机信号为零均值正态白色随机信号时，由式（2）确定

sin(wN)2 22（2） var px(w) ( x){1 []} Nsinw

式中 为信号的方差，由于var px(w) 不随数据长度的增加趋于零，因 此周期图法不是一致估计。在信号记录长度一定的条件下，要保证估计的分辨率，2x

会使方差很大。

周期图法应用比较广泛，主要是由于它与序列的频谱有直接的对应关系，并且可以采用FFT快速算法来计算。但是，这种方法需要对无限长的平稳随机序列进行截断，相当于对其加矩形窗，使之成为有限长数据。同时，这也意味着对自相关函数加三角窗，使功率谱与窗函数卷积，从而产生频谱泄露，容易使弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成频谱的模糊和失真，使得谱分辨率较低。

2.1.2 Welch法

Welch 算法是周期图法的一种改进，用 Bx(w) 表示Welch 算法的结果，其过程是将x(n)的长度N分成p段，每段M个数据，则第p段的修正周期图为

2

p 1JP(w) MUM 1n 0 x(n)w(n)e jwn （3）

1 其中 U(w) MM 1n 0允许调整，w(n)为所加的窗函数， w(n) 是归一化因子，2

对P个分段的周期图进行平均，可得到整个信号x(n)的功率谱估计:

1p

Bx(w) jp(w) （4）Pp 0

Welch算法谱估计的方差由式（5）近似计算

1var Bx(w) N 22 w(w) Pxp(w) （5）m M M

由式（5）可以看出，算法对谱估计的方差性能有了较大的改善，但以分辨力的降低为代价。

因为Welch算法各段允许交叠，从而增大了段数，这样可以更好地改善方差特性。但是，数据的交叠又减少了每一段的不相关性。另外，选择合适的窗函数可以减小频谱的泄漏，改善分辨率。

2.1.3 多窗谱估计算法

多窗谱估计（亦称为MTM算法）也是基于FFT的一种谱估计算法，由Thomson于1982年提出，其基本思路是对同一数据序列加多个正交的数据窗分别求直接谱（特征谱），然后取平均得到谱估计。多窗谱定义如下：

1K 1

X( ) Sk( ) （3.9）Kk 0

其中K为加窗的个数，Sk( )为第k个特征谱，计算公式为：

Sk( ) x(n)a(n)ek

n 0N 12 j n （3.10）

公式中，N为数据序列长度，ak(n)为第k个数据窗序列。Thomson所使用的数据窗ak(n)是一组相互正交的离散椭球序列（DPSS序列），满足：

k j ak(n)aj(n) 0 （3.11） a(n)a(n) 1k j j k

Slepian数据窗序列可以产生一个频谱估计序列：

(N)N

Sk(f) t| wr(k)Xre 2 fr t|2

（3.12） r 1

特征向量wr为离散扁长的球体序列(DPSS)，又称其为特征数据窗。

由于采用多窗进行平滑，因此多窗谱估计算法方差性能良好，同时由于数据窗相互正交，可有效阻止频谱泄露，保证该方法的谱估计分辨力。 (k)

2.1.4 多正弦窗谱估计算法

多正弦窗谱估计算法的基本思路就是用多正弦窗代替MTM谱估计法中的 Slepian窗，以改进多窗谱估计的算法性能，形成一种基于多正弦窗的多窗谱估计算法。随机信号x(n)（长度为N）的多正弦窗谱若用Smt( )表示，则可定义为：

s(w) kSkmt(w) （10） mt

k 1K

其中，K为加正弦窗的个数， k为加权系数，即Smt(w)是K个特征谱Skmt(w)的加权平均。第k个特征谱可由公式确定：

N2

jwn

kSkmt(w) x(n)w(n)e

i 1 （11）

由以上的分析可以看出，多正弦窗谱估计算法是建立在传统周期图法基础之上的，是加正弦窗的x(n)的几个独立的周期图谱估计的加权平均，因此其谱分析的分辨力理论上应与周期图法的相当。

通过对公式（9）与（10）的进一步分析，说明多正弦窗谱估计所体现的优点。公式（10）其实就是先对x(n)wk(n)进行傅立叶变换，然后再取其幅度谱的平方，结合wk(n)的定义：

wk(n) (k 1)n] N 1 （12） 利用傅立叶变换的频移特性，若用X( )来表示序列x(n)的傅立叶变换，则公式（10）可改写为：

2

S( ) mt

k 1K kN 1X( (k 1)

N 1) X( (k 1)

N 1 ) （13）

由公式（13）分析，由于X( (k 1)

N 1)的旁瓣会与X( (k 1)

N 1)的旁瓣

相互抵消，因此多正弦窗谱估计应该具有较小的偏差。同时，由于进行了K个特征谱的加权平均，对谱图会有一定的平滑效果，因此谱估计的方差性能较传统的周期图法会有显著的改善。

2.2 MATLAB及其GUI编程

2.2.1 MATLAB语言介绍

1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标

准计算软件。MATLAB软件已矩阵计算为基础，把计算，可视化，程序设计有机融合到了一个简单易学的交互式工作环境中，其出色的数值计算能力和强大的图形处理功能得到了广大科研人员和工程技术人员的垂青。MATLAB拥有功能全面的函数库，它把大量函数封装起来，让用户脱离了复杂的程序设计过程，只需要将精力集中到模型建立的工作上即可，大大的提高了工作效率。MATLAB系统由MATLAB内核和其辅助工具箱组成。MATLAB内核是由大量的内部函数及用户自定义的函数组成。利用MATLAB可以实现科学计算，符号运算，算法研究，数学建模和仿真，数据分析和可视化，科学工程绘图以及图形用户界面设计等强大功能。MATLAB的主要特点如下：

●此高级语言可用于技术计算

●此开发环境可对代码、文件和数据进行管理

●交互式工具可以按迭代的方式探查、设计及求解问题

●数学函数可用于线性代数、统计、傅立叶分析、筛选、优化以及数值积分等

●二维和三维图形函数可用于可视化数据

●各种工具可用于构建自定义的图形用户界面

●各种函数可将基于MATLAB的算法与外部应用程序和语言（如 C、C++、Fortran、Java、COM 以及 Microsoft Excel）集成。

2.2.2 MATLAB主要功能

MATLAB的主要功能有：强大的数值运算功能；数据可视化功能；动态系统仿真；数据处理；数学计算；数字信号处理及与外部应用程序进行动态链接等。

MATLAB在数值运算上有其独到之处，不仅如此，它还提供了非常丰富的图形图像处理功能，对数值计算的结果进行图形化处理，进一步方 …… 此处隐藏：2777字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……