课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用

课时跟踪检测（二十四） 正弦定理和余弦定理的应用

一、专练高考真题

1.(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两

岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河

流的宽度BC等于( )

A．240(3－1)m

B．2－1)m

C．120(3－1)m

D．3＋1)m

解析：选C ∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝

60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C.

2．(2014·浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(

) tan 60°－tan 45°2－3，∴BC＝1＋tan 60°tan 45°

A.30 530 10

43 95 9

AB15＝＝AC25解析：选D 由题意，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝cos∠ACB＝. 55

作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．

设PH＝x，则CH3x，

在△ACH中，由余弦定理得

AHAC＋CH－2AC·CH·cos∠ACB ＝625＋3x

2－403x，

tan∠PAH＝PH＝ AH1625403－x＋3x1>0 ， x 1353故当x时，tan θ取得最大值，最大值为. 1259

3.(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一

座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN

＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点

测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝

________m. MAAC解析：在△ABC中，AC＝1002 m，在△MAC中，由正弦定理得，sin 45°sin 60°

解得MA＝1003 m，在△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高MN为150 m.

答案：150

4．(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正

西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，

行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰

角为30°，则此山的高度CD＝________m.

解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，

∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600 m，故由正弦定理得BC600＝BC＝3002 m. sin 45°sin 30°

3＝100 6(m)． 3在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×

答案：1006

5．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至

C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索

道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，

123cos A＝，cos C. 135

(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

123解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝， 135

所以sin A＝54sin C135

从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C

5312463＝×＋＝. 13513565

ABAC由正弦定理＝ sin Csin B

AC1 2604得AB＝sin C＝＝1 040(m)． sin B635

65

所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，

所以由余弦定理得

d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×

因为0≤t≤12200(37t2－70t＋50)， 131 040350≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短． 13037

BCAC(3)由正弦定理， sin Asin B

AC1 2605得BC＝sin A＝＝500(m)． sin B6313

65

乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min，

由题意得－3≤5007101 250625－3，解得≤v≤， v504314

1 250，43所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在

625单位：m/min)范围内． 14

二、专练经典模拟

1．(2016·宜宾模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102 海里 B．103 海里

C．203 海里 D．202 海里

解析：选A 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，

BCAB∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得， sin 30°sin 45°

解得BC＝2(海里)．

2．(2015·大连联考)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A．50 m

C．120 m B．100 m D．150 m

解析：选A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.

3．(2016·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为( )

π0， A. 2

ππC. 6，3

解析：选D 由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，

再由正弦定理得a2<b2＋c2，

即b2＋c2－a2>0.

b2＋c2－a2

则cos A＝>0， 2bc

π∵0<A<π，∴0<A<. 2

π又a为最大边，∴A>3

ππ 因此得角A的取值范围是 32 .

4．(2015·宁夏吴忠联考)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h

的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达

B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方

向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )

A．62)km

C．62)km B．62)km D．10(6＋2)km ππ B. 4，2 ππ D. 32

解析：选C 由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，

1∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，得BC22

＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos 30°＝800－4003＝400(2－3)，

∴BC＝400 2－ 200 3－1 2＝2(3－1)＝10(6－2)km.故选C.

5．(2016·德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方 …… 此处隐藏：2746字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……