第四节 隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数

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第四节

隐函数的导数、

由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数

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一、隐函数的导数若由方程 可确定y是x的函数, 则称此函数为隐函数. 由 表示的函数，称为显函数。 例如, 可确定显函数 隐函数求导方法: 将y看做中间变量，运用复合函数求导法则在方 可确定y是x的函数 , (隐函数的显化)

对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？

程两边直接对x求导。

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隐函数求导方法: 两边对x求导 (注意y = y(x)) (含导数 y 的方程) 例1 方程 y = x lny 确定了函数 y = y (x), 求 y . 解 方程两边同时对 x 求导, 得y ln y x

1 y

y ,

解得

y

y ln y y x

.

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例2 设 sin(xy) - ln(x + y) = 0 确定了函数 y = y (x),

求 y . 解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有c o s ( x y ) ( y x y )

1 x y

(1 y ) 0 ,

解得

y

y ( x y ) cos( xy ) 1 1 x ( x y ) cos( xy )

.

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例3 设

xy e ex

y

0

确定了函数 y = y (x), 求

dy dxx 0

.

解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有y xy e e y 0,x

y

解得

dy dx

e yy

x e

y

,

再由原方程知 xdy dx

0

时，y 0 . 代入上式，得e yy

x 0

x e

y x 0 y 0

1.

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例4 方程 x 2 + xy + y 2 = 4 确定了y 是 x 的函数求曲 线上点 (2, 2) 处的切线方程. 解 方程两边同时对 x 求导, 得 2x + y + xy + 2yy = 0,y 2x y x 2y , y (2, 2)

1,

于是, 点(2, 2)处的切线方程为

y ( 2) = 1 (x 2),即 x – y – 4 = 0.

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例5 求由方程

x y

1 2

s in y 0 所确定的隐

函数 y 的二阶导数 y . 解 由隐函数求导法, 得 1 于 是 y 2 2 cos y ,y 1 2 cos y y 0,

上式两边再同时对 x 求导, 得y 2 s in y y (2 cos y )2

4 s in y (2 cos y )2

.

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例6 设 y = y (x) 由方程 所确定, 求 y . 解 方程变形为1 2

ln

x y2

2

a rc ta n

y x

ln ( x y ) a rc ta n2 2

y x

,

两边同时对 x 求导, 得1 2 1 x y2 2

( 2 x 2 y y )

1 y 1 x 2

x y y x2

,

于 是 y

x y x y

.

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上式两边再同时对 x 求导, 得y (1 y )( x y ) ( x y )(1 y )

y

x y x y

(x y)2 x y 2 y (x y)22

2

2(x y )2

(x y)

3

.

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二、对数求导法对于有些函数, 使用对数求导法求导要比通常的

方法简便. 所谓对数求导法就是先在 y = f (x), 的两边取对数, 然后再用隐函数求导法求出 y 的导数.

观察函数对数求导法适用于多个函数相乘或幂指

函数 求导。

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例6 y = x x (x > 0), 求 y .解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,1 y y ln x 1,

于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx). 上述方法实际上是对幂指函数求导的一般方法, 也可以按下列方法书写, y = x x = e x lnx, 于是 y = e x lnx (xlnx) = x x(lnx + 1).

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例7 设 y ln x , 求 y . 解 显然函数是幂指函数，可采用对数求导法。为s in x

此先将方程两边取对数得ln y sin x ln ln x .

上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得1 yy ln x s in x

y c o s x ln ln x sin x

1

1

,

ln x xs in x c o s x ln ln x . x ln x

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例8 设 x > 1, x 2, 3, 4,

y

( x 1)( x 2 ) ( x 3 )( x 4 )

, 求 y .

解 如果直接利用复合函数的求导公式求这个函数 的导数, 将是很复杂的. 为此先将方程两边取对数得ln y 1 2 [ln ( x 1) ln ( x 2 ) ln ( x 3 ) ln ( x 4 )].

上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得1 1 1 1 1 1 y , y 2 x 1 x 2 x 3 x 4

y

1 2

( x 1)( x 2 ) 1 1 1 1 . ( x 3 )( x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 4

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三、由参数方程确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t, 2 y t , 2

例如 y t

t x 42

x 2

消去参数1 2 x

(

x 2

) 2

y

问题: 消参困难或无法消参如何求导?

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x (t ) 事实上， 在方程 中, y (t )

设函数 x ( t ) 具有单调连续的反函数 y [ 1

t

1

( x ),

( x )]

再 设 函 数 x ( t ), y ( t ) 都 可 导 , 且 ( t ) 0 ,

由复合函数及反函数的求导法则得dy dx dy dt dt dx

dy dt

1 dx dt

( t ) ( t )

t dt 即 dx t dxdy dt

dy

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例1 设解：

求