数字信号处理ch4_3脉冲响应不变法

IIR数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计

模拟域频率变换脉冲响应不变法

双线性变换法利用MATLAB设计IIR DF

脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)

问题的提出脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤

脉冲响应不变法

一、问题的提出频率 变换 设计模拟 滤波器 AF到DF 的转换

p, s

p, s

H(s)

H(z)

对转换提出的两点要求： 如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 定的。

1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法脉冲响应不变法

2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，S平面的虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。

二、脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:拉氏反变换

H(s)

h ( t)

抽样t=nT

h(n)

Z变换

H(z)

1 H (e ) z e j H a ( j jk s ) T k j 脉冲响应不变法

1 1 T siT 1 s si 1 e z

s j

二、脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况N

H a (s) i 1

Ai s si

H ( z) i 1 1 1T

N

TAi siT 1 1 e z

脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 共轭极点

s 1 2 2 (s 1 ) 1 1 2 2 (s 1 ) 1

1 z e cos 1T 1 1T 2 2 1T 1 2z e cos 1T z e

z e sin 1T 1 1T 2 2 1T 1 2z e cos 1T z e脉冲响应不变法

1 1T

二、脉冲响应不变法的基本原理z平面与s平面之间的映射关系

(s) H ( z ) H a

z e sT

r e T

T

0, r 1 0, r 1 0, r 1

对转换提出的两点要求：

z e e定的。j

2 jT ( M ) sT ( j ) T T j ( T 2 M T 1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 T

e e

) e e

1 2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响， S平面的 H数字频率 (e ) z e H a ( 的关系为 j jk s ) s j 与模拟频率 T j T k 虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。脉冲响应不变法

二、脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 T 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设

计高通、带阻等滤波器。脉冲响应不变法

例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 c H (s) s c利用脉冲响应不变法求H(z),

并分别画出AF与DF的幅度响应。

解：

利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得

cT H ( z) 1 e cT z 1AF与DF的频率响应分别为

c H ( j ) j c

cT H (e ) 1 e cT e j j

其中 T,抽样频率为50,200Hz的幅度响应如下

例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 c H (s) s c利用脉冲响应不变法求H(z),并分别画出AF与DF的幅度响应。

解：1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 Hz 15 20 25DF AF

fsam=50 Hz

例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 c H (s) s c利用脉冲响应不变法求H(z),并分别画出AF与DF的幅度响应。

解：1 0.8 0.6 0.4DF AF

0.20 0 20 40 Hz 60 80 100

fsam=200 Hz

三、脉冲响应不变法设计DF的步骤1. 将数字滤波器的频率指标{ k}转换为 模拟滤波器的频率指标{ k}

k k / T2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。

3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。

p, s

= /T

p, s

设计模拟

滤波器

H(s)

脉冲响应不变

H(z)

脉冲响应不变法

例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF,满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB

解：(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标 = / T.

p=0.2 /T, s=0.6 /T, p 2dB, s 15dB(2) 设计模拟低通滤波器 (BW型)

10 1 log10 ( 0.1 p ) s 10 1 =2 c =0.8013 /T 0.1 s 1/ 2 N N (10 1) 2 log10 ( s / p ) 0.6421 1 H a ( s) ( sT ) 2 1.1356 ( sT ) 0.6421 s 2 s ( ) 2 1 c c

0.1 s

例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF,满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB

解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 0.5678j 0.5678j H a ( s) s s1 s s21 T s si 1 e siT z 1

极点为s1=( 0.5678 + 0.5654j)/T, s2=( 0.5678 0.5654j)/T 利用

可得DF的系统函数为

0.3448 z 1T H ( z) 1 0.9571z 1 0.3212 z 2

三、脉冲响应不变法设计DF的步骤 脉冲响应不变法的MATLAB实现[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den:AF分子、分母多项式的系数向量

Fs=1/T:抽样频率numd,dend:DF分子、分母多项式的系数向量

脉冲响应不变法

例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF,满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter [numa,dena]=butter(N,wc,'s');

例：利用AF-BW filter及脉冲响应不

变法设计一DF,满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));