数学建模作业(三)

北航数学建模作业

数学建模作业（三）

第三章习题

2013/04/09

北航数学建模作业

速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气的密度是ρ，用量纲分析法确定风车获得的功率p与v，s，ρ的关系。

对于风车获得的功率p与v，s，ρ的关系我们假设：

1.忽略其它因素对功率的影响

2.将其视为理想化模型

在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关：

风车获得的功率p，风速v，迎风面积s，空气密度ρ。

它们的量纲分别是

2 3v] LT 1,[s] L2,[ ] ML 3. ,[[p] MLT

设 =p 1 2 3vs ，有 4

2 3 1[ ] (MLT)(LT 1) 2(L2) 3(ML 3) 4

M 1+ 42 1+ 2+2 3-3 4LT-3 1- 2

由[ ] 1得到以下线性方程组

1 4 0 2 1 2 2 3 3 4 0

3 1 2 0

不难验证，这个方程组的秩为3.

因此方程组的解空间是4维。

由

= 1 1

可得方程组的基本解：

e1 (1, 3, 1, 1),

于是，与这四个参数有关的量纲乘积为

1=pv 3s 1 1,

四个物理量之间的关系为f 1 0.即

fpv 3s 1 1 0.

根据隐函数运算法则，得

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p s v3，

其中 为无单位的常比例系数。

俗话说“大饺子能装馅”，试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。

“大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。 为了简化模型，我们做出以下假设

1. 饺子都是标准球形

2. 饺子大小全部一致

3. 饺子皮的厚度相同

4. 饺子皮的厚度忽略不计

涉及到的物理量：

饺子皮总面积S，一个饺子皮的面积s，饺子数n，饺子半径r，所包馅的总体积V，一个饺子包含馅的体积v

这些物理量有以下关系：

s=4 r2

4v r3

3

n S/s

V nv

可得V 因此，大饺子能装馅，这一说法正确。

考察一个模拟水下爆炸的实验，爆炸物的质量m在距爆炸点的距离为r处接受冲击波，产生压强为p。记大气初始压强为p0，水的密度为ρ，水的体积弹性模量为k。由量纲分析法已经得到p p0 (p0/k, r3/m)。设模拟现场与现场的p。，ρ，k相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/10000.为使实验中接受到与现场相同的压强，试计算接受冲击波仪器的相对位置（是现场仪器与爆炸点之间距离的多少倍）。 设模拟实验时现场仪器与爆炸点之间距离为r1，爆炸物质量为m1.现场爆炸时现场仪器

与爆炸点之间距离为r2，爆炸物质量为m2.

根据题目假设有模拟现场与现场的p。，ρ，k相同，而爆炸物模型的质量为原型的

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1/10000。

根据量纲分析法得到的公式有p p0 (p0/k, r3/m)。为使实验中接受到与现

r13/m1 r23/m2，因此

有场相同的压强，需要使得

1

3 m2 r2 r1 1.

m1

m r2 2 r1 m1

13

即